Voici le code Maple permettant d'obtenir les résultats:
> for n from 0 to 10 do int(exp(-t)*(sum((-1)^k*t^k/k!,k=0..n)-exp(-t))/t^(n+1),t=0..infinity);od;
Et voici les résultats obtenus (on trouvera une présentation plus élégante dans le post précédent de
gui_tou):
ln(2)
1 - 2 ln(2)
2 ln(2) - 5/4
8/9 - 4/3 ln(2)
131
- --- + 2/3 ln(2)
288
661
---- - 4/15 ln(2)
3600
1327
- ----- + 4/45 ln(2)
21600
1163
----- - 8/315 ln(2)
66150
148969
- -------- + 2/315 ln(2)
33868800
447047
--------- - 4/2835 ln(2)
457228800
44711
- --------- + 4/14175 ln(2)
228614400
On conjecture donc que
avec
et
rationnels.
On sait que:
Donc
On traitera par la suite le cas où
. Le résultat qui va être établi restera valable pour n=0, mais il faudra un raisonnement utilisant le théorème de convergence dominée.
Chacune des fonctions
, avec
, est continue par morceaux et intégrable sur
, avec:
(cours sur la fonction
)
converge, le terme général de cette série étant négligeable devant
On déduit du théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions que:
Citation :
est intégrable sur
et
On a:
Donc:
Citation :
On ne démontrera pas que
(résultat classique)
Citation :
On a maintenant tout ce qu'il faut pour démontrer par récurrence que
, avec
et
rationnels. On peut même préciser que
. Par contre, l'expression de
...
En reprenant l'expression de
, on a:
On en déduit que
est de limite nulle (
étant majoré par le reste d'ordre
d'une série convergente).