Cliquez pour afficher

Je sais qu'il existe n tel que xⁿ=e pour tout x dans G, qu'il y a une famille génératrice finie, que chaque sous-groupe a un nombre fini de conjugués, mais je coince toujours sur une mise en place d'une démonstration!

 Cliquez pour afficher

Une indication:
chaque élément de G appartient à un sous-groupe fini

 Cliquez pour afficher

Oh! Merci...

 Cliquez pour afficher

Soit un groupe admettant un nombre fini de sous-groupes. Soit un élément de .
Si n'était pas d'ordre fini, alors admettrait un nombre infini de sous-groupes:
     le sous-groupe engendré par :    
     le sous-groupe engendré par :    
     pour premier, le sous-groupe engendré par :  
ce qui est contradictoire.

Donc, tout élément de est d'ordre fini.

Par ailleurs, tout élément de appartient à un sous-groupe de de cardinal fini (le sous-groupe engendré par cet élément, qui est d'ordre fini). Donc, est inclus dans l' ensemble des sous-groupes finis de . L' ensemble de ces sosu-groupes étant de cardinal fini, on en déduit que est fini.