Bonsoir perroquet , j'aimerais savoir ce qu'est l'officiel de la taupe ?

merci.

L'Officiel de la Taupe est une revue gratuite, qui parait une fois par an. Elle est envoyée à tous les élèves de Maths Spé, qui le demandent (en principe, parce qu'en pratique, c'est un peu plus compliqué).

Dans cette revue, on trouve une sélection d'oraux de mathématiques, de physique, de chimie, proposés à l'oral des concours des écoles d'ingénieurs : ENS,Polytechnique,Mines,Centrale,TPE,Ecoles militaires (Air,Saint-Cyr,Navale),ENSI (ou concours communs polytecniques),Arts et Métiers ... On y trouve seulement les énoncés (pas les corrigés). C'est ce qui explique que je propose certains de ces exercices.

Une petite précision en ce qui concerne les exercices de physique et de chimie: d'après mes collègues, ces exercices ne sont pas exploitables: énoncés incomplets, ou faux. Ce n'est pas le cas des exercices de mathématiques, même s'il y a certaines fois quelques petites fautes.

Merci perroquet pour cette réponse aussi précise.

Bonjour perroquet.

C'est un très bel exercice car le début est classique alors que la fin demande d'écrire un algorithme pour obtenir une valeur approchée de la limite de w(n) (avec majoration de l'erreur).
Si on programme cet algorithme, il y a une surprise à la fin car la limite de w(n) est remarquable.
D'où une question supplémentaire (difficile sans indication) : calculer la valeur exacte de la limite de w(n).

Bonjour.

jandri,

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Me suis-je trompé, ou ?

gui_tou
Très bien pour le résultat (à condition de commencer à n=0).
Cependant le plus difficile est de le démontrer!

Bonjour

Une solution de l'exercice, en blanké

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On démontre l'existence de par récurrence. Celle de est assurée par définition. Supposons que existe (il est donc strictement négatif). Alors,  le trinôme admet deux solutions réelles puisque son discriminant est strictement positif (rappelons que est positif. Le produit de ces racines est égal à , donc , l'une des racines est strictement positive et l'autre est strictement négative. Ceci assure donc l'existence et l'unicité de tel que

L'égalité   assure que .Comme, par ailleurs, est majorée par 0, la suite , qui est croissante et majorée est donc convergente. Notons sa limite. En passant à la limite dans l'égalité , on obtient donc .

. Donc, la série est une série convergente, à termes positifs (la somme de cette série étant égale à ).  
Par concavité de la fonction sur , la courbe représentative de cette fonction est en-dessous de sa tangente en . En particulier:    
Donc:
On déduit donc de la convergence de la convergence de

Comme , on en déduit la convergence de .

On passe maintenant au calcul approché demandé. L'énoncé nous laissant le choix, on choisit le calcul de . Pour cela, on va chercher un majorant du reste d'ordre . On a:

Il suffit donc de déterminer tel que  .
Il ne reste plus qu'à programmer cela. Voici le listing Maple.

> x:=-2.:v:=0: while -x>10^(-2) do x1:=(1-sqrt(1-4*x))/2:v:=v+ln(1+x1-x): x:=x1: od:v;exp(v);

                             1.599508762
                             4.950599904

Attention, la limite de w(n) n'est pas connue à 0,01 près. Ce qui est connu à 0,01 près, c'est la somme des v(n)

Bonjour,

La démonstration de perroquet est très bien; on peut cependant améliorer la précision du calcul approché (erreur majorée par 3/n³).

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On approche par .
De |ln(1+x)-x|2/2 on déduit que .
Par ailleurs, de , on déduit que donc ; par suite, .
On a donc .
Une valeur approchée de à la précision est donc .

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