On paramètre la parabole P par:
=2pt^2\quad y(t)=2pt)
L'équation de la normale N(t) à P en un point M de paramètre t est:
4pt+(y-2pt)2p=0 \qquad \text{ donc} \qquad 2t(x-2pt^2)+y-2pt=0)
Supposons que 3 normales
,N(t_2),N(t_3))
soient concourantes en un point
)
. D'après ce qui précède,
sont solutions de l'équation:
+y=0)
En particulier:
. Et, si on note
les 3 points de P en lesquels
sont normales à P et G l'isobarycentre de ces 3 points, on a::
Citation : Donc, l'isobarycentre de 3 points de la parabole dont les normales sont concourantes est situé sur l'axe de cette parabole, d'équation
Complément 1: Est-ce toute la droite?
Avec les notations précédentes, on a:
Réciproquement, soit
)
avec
. Il existe alors
tel que
.
On choisit
,M_2(2pt^2,-2pt),M_3(0,0) \quad )
. Il est clair que
sont trois points de P, dont l'isobarycentre est égal à
,et dont les normales sont concourantes en un point de l'axe
)
, cette dernière affiramtion parce que
est symétrique par rapport à l'axe
.
Citation : Donc, l'ensemble des isobarycentres de 3 points de la parabole dont les normales sont concourantes est la demi-droite
et
Complément 2: si l'isobarycentre de 3 points de la parabole est situé sur l'axe focal, les normales en ces 3 points sont-elles concourantes ?
La réponse est positive, voir l'exercice 125a. Non, je ne veux pas recopier ma solution de l'exercice 125a.
Les points cocycliques, avec un grand merci à veleda pour m'avoir communiqué une solution simple
Supposons que 4 points
de paramètres
de la parabole P appartiennent à un même cercle de centre (a,b), de rayon R, donc d'équation:
^2+(y-b)^2=R^2)
Alors,
sont solutions de l'équation:
^2+(2pt-b)^2=R^2 \quad )
donc de l'équation:
t^2-4ptb+a^2+b^2-R^2=0)
En particulier:
Et, si on note G l'isobarycentre de
, on a:
Citation : Donc, l'isobarycentre de 4 points cocycliques de la parabole est situé sur l'axe de cette parabole, d'équation
Complément 3: Est-ce toute la droite?
Avec les notations précédentes, on a:
Réciproquement, soit
avec
. Il existe alors
tel que
. On choisit
,M_2(2pt_2^2,2pt_2),M_3(2pt_1^2,-2pt_1),M_4(2pt_2^2,-2pt_2) \quad )
. Il est clair que
sont 4 points de P, dont l'isobarycentre est égal à
.
Il reste à montrer que ces 4 points sont cocycliques. Pour cela, on remarque que la médiatrice de
![[M_1,M_2]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?[M_1,M_2])
recoupe l'axe
en un point
. Le cercle de centre
et de rayon
passe par les 4 points
(ne pas oublier que P est symétrique par rapport à (Ox)).
Citation : Donc, l'ensemble des isobarycentres de 4 points cocycliques de la parabole est la demi-droite
et
}}
Complément 4: si l'isobarycentre de 4 points de la parabole est situé sur l'axe focal, ces 4 points sont-ils cocycliques ?
La réponse est positive. On rappelle d'abord que 4 points A,B,C,D d'affixes a,b,c,d sont cocycliques ou alignés si et seulement si leur birapport
est réel.
Or, le birapport de 4 points
de la parabole P, de paramètres
vaut:
}{2pt_3^2-2pt_2^2 +i(2pt_3-2pt_2)}\ \frac{ 2pt_4^2-2pt_2^2 +i(2pt_4-2pt_2)}{2pt_4^2-2pt_1^2 +i(2pt_4-2pt_1)}=\frac{t_3+t_1+i}{t_3+t_2+i}\frac{t_4+t_2+i}{t_4+t_1+i}\ \frac{ t_3-t_1}{t_3-t_2} \ \frac{ t_4-t_2}{t_4-t_1} )
La partie imaginaire de
vaut:
(t_1-t_2)(t_1+t_2+t_3+t_4)}{(t_3+t_2)^2+1)((t_4+t_1)^2+1)})
merci à Maple qui a réalisé le calcul
Ce qui termine la démonstration: les 4 points sont cocycliques si et seulement si
...
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m>0 il existe une corde M0M1 de la 1/2 parabole dont le milieu est d'abscisse m,il me semble que oui mais je vais dormir
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