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1) Positivité: N est clairement positive puisqu'elle est une racine carrée

2) Séparation:
Or:

D'où ainsi:

3) Homogénéité: Soit

4) Sous-additivité: soit en étudiant le signe de leur différence, soit en utilisant (peut-être qu'on peut même utiliser CS, mais bon j'ai pas trop réfléchi )

5) Considérons

par un simple calcul...

Ainsi, est la norme euclidienne associée à

Je réfléchis à la suite après

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On définit donc, pour deux éléments et de :    
Il est clair que est une forme bilinéaire symétrique, (par linéarité de l'intégrale, entre autres). Il reste à démontrer qu'elle est définie positive:



Supposons . Alors, on a deux termes positifs dont la somme est nulle. On en déduit que:

étant continue positive, on en déduit que:
Donc .


Soit un élément de et un élément de . On a:



En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire   aux fonctions et :      
Donc:

En utilisant maintenant l'inégalité , on a, pour tout x de [0,1]:        

Donc  


Pour , n étant un entier naturel non nul, on a:

Donc, .