Cliquez pour afficher

Existence du polynôme A_n

On démontre l'existence du polynôme par récurrence sur .

    avec  
    avec    


Supposons que        avec  
       et que     avec  

Alors:  

avec


On en déduit l'existence d'une famille de polynômes telle que  

On a:  

Unicité du polynôme An
Supposons qu'il existe un polynôme tel que:      

Alors, et coïncident sur la famille qui est une famille infinie. a donc une infinité de racines, et c'est le polynôme nul.

D'où l'unicité de la famille

Détermination des racines de A_n

A partir de l'expression qui a été donnée dans le premier encadré, on démontre facilement par récurrrence que est de degré .

Posons . On a:

On en déduit que admet pour racine

Sachant que est bijective de sur , on vient donc de trouver exactement racines de , les réels , variant de à . Comme est de degré :



Décomposition en éléments simples de 1/A_n
Le principe de la décomposition en éléments simples de est facile. Comme a exactement racines simples , on a:

    avec    

Il reste à calculer   .   Notons:  

Dérivons l'égalité:  .

On obtient:

En posant dans l'égalité ci-dessus:    

Donc:

Sachant que , on a:    










Voilà, c'est fini