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Je commence par montrer qu'il existe une telle forme linéaire f telle que ce produit soit non nul.
Notons n le cardinal de X et notons tels que les q premiers vecteurs forment une famille libre maximale (comme X est non réduit à 0, q est un entier supérieur ou égale à 1). On commence par définir une forme linéaire sur Vect(X). On veut trouver f telle que l'image de ces vecteurs soit non nulle. Notons F l'ensemble de ces formes linéaires. L'idée est de montrer que F est non vide : pour cela, considérons son complémentaire. Son complémentaire est une union finie de sous-espaces stricts (des hyperplans) du dual de vect(X) (car X ne contient pas le vecteur nul) donc, ce complémentaire n'est pas égal au dual de vect(X) et donc F est non vide. Ainsi, il existe g telle que . Notons alors une racine nième de et donc en prenant (on peut faire tout ça, car on a affaire à une espace vectoriel sur ), f vérifie .
On conclut en prolongeant la forme linéaire à tout l'espace vectoriel E : C'est vrai en dimension finie mais c'est également vrai en dimension infinie (modulo l'utilisation du lemme de Zorn).

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Jolie solution.
La mienne est différente. Je la posterai d'ici une semaine.

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Merci. J'attends donc de voir ce que tu proposes.
Sinon, je voudrais revenir sur ce que j'ai dit : dans ma preuve, j'ai considéré une famille libre maximale mais en fait on n'en a pas besoin (j'étais parti sur autre chose dès le départ) : on ne se sert même pas de ce fait.

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Soit la propriété:



est vraie, c'est un résultat du cours.

Supposons vraie.
Soit alors une famille d' éléments de .
Par , on dispose d'un élément de tel que .
Par , il existe une forme linéaire telle que .
étant infini, il existe dans tel que:    et    pour   

On définit alors par . est une forme linéaire sur , telle que ne s'annule en aucun point .
On prend ensuite , étant un élément de tel que
.
est une forme linéaire sur et
On en déduit que est vraie.

Ce qui termine la démonstration.

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prenons n=2 et X formé d'un vecteur non nul et de son opposé, alors pour toute forme linéaire f, le produit défini plus haut, vaut -f(x)² qui est toujours strictement négatif et donc jamais égal à 1. Plus généralement, si n=2p, on peut prendre X comme étant constitués de p vecteurs ainsi que de leurs opposés et la conclusion tombe également en défaut.