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1]

Si le résultat est immédiat.

Supposons pour la suite

* Supposons H stable par f :

Soit une droite supplémentaire de H dans E:

   - si soit tel que .

On a

Or (car sinon , f stabilisant H, ce qu'on a éloigné)

Soit tel que:

     - si

Alors: car H est stable par f


* Supposons qu'il existe de R tel que

Soit x de H on a donc

H est donc stable par f.


2] Ce n'est qu'une traduction matricielle de la première question: vu que L(E) et Mn(R) sont isomorphe alors H est stable par f ssi il existe de R tel que

Soit: H est stable par f si et seulement si  

3] Soit H un plan stable par A, soit la forme linéaire dont le noyau est H, soit sa matrice.

On a

Les valeurs propres de sont clairement 1 et 2 (puisque c'est une matrice triangulaire)

Le sous espace propre associé à 1 est: Vect(0,1,0)

Le sous espace propre associé à 2 est: Vect(0,0,1)

Deux formes linéaires ont le même noyau ssi elles sont proportionnelles, on peut prendre:

L=(0  1  0)  ou   L=(0  1  0)

Les plans stables par A sont donc les plans d'équations:

     et       où un vecteur u de E a pour composantes x, y et z

On aurait pu travaillé avec les application transposée mais c'est devenu Hors programme ...

C'est pas bien rédigé mais c'est 00:43 chez moi

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Pour la première assertion, un raisonnement par équivalence fait l'affaire :

H est stable par f

H est stable par f

H est stable par f

H est stable par f soit et
                              
soit et . Ainsi, et sont deux formes linéaires de même noyau. Par propriété :

Conséquence :

Traduisons l'équivalence précédente en terme de matrices :

H est stable par f

"Transposons" l'égalité :



Conséquence :   est un vecteur propre de

laisse stable et lui-même.

Une droite stable par est l'un des sous-espaces propres de , ie et

Quant aux hyperplans stables par , intéressons-nous aux vecteurs propres de .

et ont le même polynôme caractéristique donc les mêmes valeurs propres : 1 et 2.

La résolution des équations d'inconnue : donne que les équations des hyperplans stables par sont :



Sauf erreur ...

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Très belle solution

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Il y a une faute dans la solution de la première question.
Il est possible que  f(x_0) n'appartienne pas à  Rx_0 (le fait que f(x_0) n'appartienne pas à H n'entraîne pas que f(x_0) appartient à Rx_0).

Cependant, cela ne remet pas en cause l'idée que tu as exposée.
En effet, on n'a pas besoin du fait que f(x_0) appartient à Rx_0 dans ta solution, puisqu'il suffit de prendre tel que:

ce qui est possible puisque   phi(x_0) est non nul.