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Quelques préliminaires

On rappelle que la notation      désigne      (lorsque ces deux séries sont absolument convergentes)

Puisque est 1-périodique et de classe , alors, par le théorème de convergence normale (qui nécessite seulement que soit continue et de classe par morceaux), est la somme de sa série de Fourier:


On notera .

Une expression simple de

On a:

(On peut intervertir les deux signes parce qu'il s'agit d'une somme finie de séries convergentes)
     Lorsque est multiple de :  
     Lorsque n'est pas multiple de   :  
On en déduit que  

Donc:  

La démonstration pour

Rappelons maintenant que, lorsque est de classe , -périodique, à valeurs dans , on a, lorsque tend vers l'infini:
Donc, la suite est bornée, et il existe une constante telle que .
Donc:  

On en déduit le résultat pour et donc, pour tout .