Niveau exercices

Officiel de la Taupe: planche 12

Posté par
perroquet 30-01-09 à 06:32

Bonjour.

Bonjour

Encore un sujet d'ENS (otion MP), avec un joli résultat que je ne connaissais pas.

Citation :

Soit   $q \in {\mathbb N}$    $p=2q$      $u_1,\ldots ,u_p$   des réels. Montrer que l'on peut choisr   $C \in {\mathbb C}$ tel que
$3$ \forall x \in {\mathbb R}, \quad g(x) =Ce^{-iqx}\prod_{k=1}^p \left( e^{ix}-e^{iu_k}\right) \quad \in {\mathbb R}$

Soit   $f$   continue sur   $\mathbb R$ , à valeurs dans   $\mathbb R$ , $2\pi$ -périodique et dont les coefficients de Fourier vérifient:
$a_0=0, \quad \exists n \in {\mathbb N}, \quad \forall k \in [1,n-1], \quad a_k=b_k=0$

Montrer que   $f$   s'annule en changeant de signe un nombre pair de points, supérieur ou égal à   $2n$ .

Posté par re : Officiel de la Taupe: planche 12 06-02-09 à 06:54

Bonjour.

Ils n'ont pas beaucoup de succès, mes oraux d'ENS .
Voici une solution.

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Posté par re : Officiel de la Taupe: planche 12 06-02-09 à 16:41

Salut

En ce qui me concerne, je réfléchi sur à peu près tous les exos non calculatoires que tu poses même si je ne poste pas toujours ma solûce ou ce que j'ai trouvé. Celui-là, je ne suis pas arrivé au bout, mais j'y ai consacré un peu de mon temps.
Donc voilà, même s'il reste rouge, on y réfléchi quand même.

Posté par re : Officiel de la Taupe: planche 12 06-02-09 à 21:29

Bonjour,

Je pense qu'il manque une hypothèse dans l'énoncé.
Il faut supposer que la fonction f s'annule en changeant de signe sur [-,] un nombre fini de fois; en effet la fonction 2-périodique définie sur [-,] par $f(x)=x\sin(\frac{\pi}x)$ est bien continue et s'annule une infinité de fois (pour tous les $\frac1n$ ).
Je ne vois pas comment mettre en contradiction une infinité de zéros et la condition donnée par l'énoncé sur les coefficients de Fourier.

Posté par re : Officiel de la Taupe: planche 12 06-02-09 à 23:59

Bonjour, jandri

Tu as raison. L'énoncé est imprécis. Cette partie de l'énoncé

Citation :

Montrer que f s'annule en changeant de signe un nombre pair de points, supérieur ou égal à 2n.

doit être remplacée ainsi:

Citation :

Montrer que, sur $[0,2\pi[$ , f s'annule en au moins 2n points.

ou, comme tu le suggères:

Citation :

On suppose que la fonction f s'annule en changeant de signe sur $[-\pi,\pi]$ un nombre fini de fois.
Montrer que f s'annule sur $[0,2\pi[$ en changeant de signe en un nombre pair de points, supérieur ou égal à 2n.

Dans les deux cas, on peut adapter avec quelques petites modifications, la solution que j'avais postée le 6 février 2009, à 6h54