Officiel de la Taupe: planche 205-2

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Officiel de la Taupe: planche 205-2
Posté par 
perroquet  08-02-09 à 01:16
Bonjour

Une série  (ENSEA option PC)

ENSEA = Ecole Nationale Supérieure de l'Electronique et de ses Applications (Cergy)

Citation :

Convergence et somme de      , où s(n) est le nombre de décimales de n dans son écriture en base 10.

 Posté par 
1 Schumi 1re : Officiel de la Taupe: planche 205-2  08-02-09 à 01:34
Salut 

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La convergence est relativement immédiate vu que s(n)=O(ln(n)) donc le terme général est un O(n^(-3/2)).

Pour la somme, je dirai que ça serait pas idiot de sommer à s(n)=constante. De 1 à 9, de 10 à 99,... ça se télescope sympathiquement sur ces intervalles et donc au final, avec un calcul fait à l'arrache (donc probablement faux) j'obtiens un truc du style 1/2-1/9=7/18.

Ca surement faux, mais la technique doit être la bonne.

 Posté par 
perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 205-2  08-02-09 à 01:46
Bonjour, 1 Schumi 1 

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Pour la convergence: oui

Pour l'idée : oui

Pour la valeur de la somme: non

 Posté par 
gui_toure : Officiel de la Taupe: planche 205-2  08-02-09 à 09:45
Bonjour à tous 

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10/9 ? j'avais posté un exo dans ce genre  Défi : série & nombre de chiffres
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jandri re : Officiel de la Taupe: planche 205-2  08-02-09 à 12:20
Bonjour,

C'est exact, gui_tou a déjà posé l'exercice et la valeur de la somme a été donnée mais sans démonstration.
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1 Schumi 1re : Officiel de la Taupe: planche 205-2  08-02-09 à 14:07
Je me disais bien que c'te exo me disait quelque chose...

 Posté par 
1 Schumi 1re : Officiel de la Taupe: planche 205-2  08-02-09 à 14:08
Au fait, j'oubliais presque: félicitations pour ta promotion jandri. 

 Posté par 
gui_toure : Officiel de la Taupe: planche 205-2  08-02-09 à 14:28
Alors je poste une soluce ici aussi 

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Soit  un entier positif. Pour tout  tel que , on a 

Or   (où E(x) désigne la partie entière de x)

Donc 

Donc 

Par majoration par une série de Riemann convergente, on conclut que la série à termes positifs 

Pour tout N > 0, 

Mais 

Ainsi,

Puisque  (croissance comparée puissance-exponentielle), en passant à la limite quand  on obtient :

c'est à dire : 

Merci à M. D
  Posté par 
perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 205-2  15-02-09 à 14:44
Bonjour.

gui_tou a proposé une excellente solution dans le post qui précède celui-ci. La mienne est identique, je ne la poste donc pas.