Officiel de la Taupe: planche 208-1

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Officiel de la Taupe: planche 208-1
Posté par 
perroquet  05-02-09 à 06:22
Bonjour.

Une suite (Télécom Sud Paris, option PC)

La limite est facile à trouver. L'équivalent, un peu moins.

Citation :

Convergence de  définie par        et      

Trouver un équivalent de  quand n tend vers l'infini

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XENSECPre : Officiel de la Taupe: planche 208-1  06-02-09 à 18:59
Je suppose que tu as trouvée une limite infinie donc en gros il faudrait déterminer l'équivalent de 1/un pour que ce soit ramené en 0
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perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 208-1  12-02-09 à 05:35
Bonjour

Voici une solution de l'exercice

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On en déduit que la suite  est strictement croissante. Elle admet donc une limite .

Si cette limite était finie, alors en passant à la limite dans l'égalité , on obtiendrait: , ce qui est impossible.

Donc,  est de limite 

Donc, comme  est de limite infinie, on a: 

Appliquons le théorème de Césaro à la suite :

   donc      donc     

 Donc    

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1 Schumi 1re : Officiel de la Taupe: planche 208-1  12-02-09 à 06:48
Salut 

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Bien vu l'histoire du u_n^3! J'avais bien vu que Cesaro était pas loin mais zavé pas vu ça. Simple curiosité: qu'est ce qui t'as fait essayé ça?

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gui_toure : Officiel de la Taupe: planche 208-1  12-02-09 à 13:11
Bonjour !

Pareil qu'Ayoub, ça coinçait pour Cesàro 
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perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 208-1  12-02-09 à 16:24
Bonjour, Ayoub et gui_tou

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En fait, j'ai déjà fait beaucoup d'exercices du même type... J'ai bien conscience que cette réponse ne va pas beaucoup vous aider. Donc, je vais essayer d'être plus constructif.

Dans le cas où la limite de u_n est nulle ou :

Si     avec    , il y a des chances pour qu'un équivalent de de  soit de la forme  , on essaye donc    et on essaye de montrer que   converge

Si     avec    , il y a des chances pour qu'un équivalent de de  soit de la forme  , on essaye donc    et on essaye de trouver  tel que  converge vers une limite non nulle, pour pouvoir appliquer Césaro.

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veledare : Officiel de la Taupe: planche 208-1  12-02-09 à 22:00
bonsoir perroquet

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merci pour la correction de la recherche d'un équivalent et les "recettes" de ton dernier post
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jandri re : Officiel de la Taupe: planche 208-1  12-02-09 à 22:03
Bonjour,

Le théorème de Césaro donne une démonstration rapide de l'équivalent de un mais il ne figure pas au programme PC. On peu donner une démonstration n'utilisant pas ce théorème:

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Ayant montré que un tend vers l'infini on constate que  d'où l'idée de considérer .

On calcule alors .

D'une part,  (par récurrence).

On en déduit pour :  qui entraine .

Puisque la série de terme général  converge et que  on déduit  ce qui entraine avec  que  a pour limite 3 d'où .

 Posté par 
veledare : Officiel de la Taupe: planche 208-1  12-02-09 à 22:47
bonsoirjandry

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merci pour cette autre démonstration
  Posté par 
veledare : Officiel de la Taupe: planche 208-1  12-02-09 à 22:48
 >>jandri désolée d'avoir mal orthographié ton pseudo