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Etape 1: simplification du problème

Notons et les formes quadratiques définies par:

Notons la base canonique de et la base définie par:

On a:

Donc:

Avec le même résultat pour les bornes inférieures.

Etape 2: résolution de l'exercice

On doit donc chercher les bornes de
avec et la norme euclidienne canonique sur .
est la forme quadratique de matrice dans la base canonique de .

On sait que si est une base orthonormale de vecteurs propres de associés aux vecteurs propres de , alors:

On en déduit facilement que, pour tout vecteur de :

L'inégalité de gauche est une égalité lorsque est l'un des vecteurs propres associés à la valeur propre .
L'inégalité de droite est une égalité lorsque est l'un des vecteurs propres associés à la valeur propre .

On calcule sans difficulté les valeurs propres de , qui sont  .



Comment retrouver ces résultats avec Maple

Je suppose que l'auteur de l'énoncé attendait une méthode qui n'utilisait pas les formes quadratiques. Je propose celle-ci.
D'abord, puisque , il suffit de chercher les bornes de sur la sphère unité. Comme la sphère unité est un compact et comme est continue sur ce compact, est bornée, atteint sa borne supérieure et sa borne inférieure.
Comme, de plus, est de classe sur , les points en lesquels atteint ses bornes sont des points critiques de (points ne lesquels les dérivées partielles de s'annulent.

On cherche donc avec Maple les points critiques de :
> F:=(x,y,z)->(x^2+2*y^2-4*z^2+2*y*z)/(x^2+2*y^2+4*z^2):
> solve({diff(F(x,y,z),x)=0,diff(F(x,y,z),y)=0,diff(F(x,y,z),z)=0});
Réponse Maple                  {y = 0, z = 0, x = x},
                               {z = z, x = 0, y = RootOf(_Z^2 - 2 - 8 _Z, label = _L1) z}

Les racines de sont .
Ayant maintenant l'ensemble des points critiques, on teste chacun d'eux pour déterminer le maximum et le minimum.
> a:=F(x,0,0);
Réponse Maple                         a := 1
> b:=simplify(F(0,(4+3*sqrt(2))*z,z));
Réponse Maple                      
> c:=simplify(F(0,(4-3*sqrt(2))*z,z));
Réponse Maple                      

On laisse au lecteur le soin de vérifier que max(a,b,c) et min(a,b,c) sont bien le maximum et le minimum trouvés précédemment.