Officiel de la Taupe: planche 86-1

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Officiel de la Taupe: planche 86-1
Posté par 
perroquet  24-01-09 à 12:30
Un exercice proposé à l'oral des Mines (option MP).

Un sujet classique, les premières questions sont faciles, les suivantes le sont moins.

Citation :

Etudier la convergence simple de la série de fonctions définies par

   est-elle continue ?

Y a-t-il convergence uniforme sur   ?

Limite de S(x) en 

 Posté par 
gui_toure : Officiel de la Taupe: planche 86-1  24-01-09 à 14:58
Bonjour perroquet,

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Je n'ai pas encore vu ce chapitre, donc ne me disputez pas 

Soit .

On a : 

La série  est une série de Riemann convergente (2>1).

Conséquence : il y a convergence simple sur  et la somme S est continue sur tout segment de  (au moins).

Pour la convergence uniforme (s'il y a), je crois que je dois montrer que : 

Je n'ai pas encore d'idée pour la limite.

Merci, je me félicite du retour des ODT 
 Posté par 
monrow re : Officiel de la Taupe: planche 86-1  24-01-09 à 16:12
Salut 

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Nous non plus on n'a pas fait ce chapitre, je serai intéressé par des oraux d'algèbre (qu'on a terminé), topologie, étude de fonctions à valeurs vectorielles, intégration.
 Posté par 
perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 86-1  24-01-09 à 17:02
Bonjour gui_tou

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C'est d'accord pour la convergence simple.

Par contre, une série simplement convergente de fonctions continues n'est pas obligatoirement continue.

La convergence uniforme d'une suite de fonctions n'est pas au programme de Spé PC, il est même précisé que cette notion est hors-programme et ne peut donc pas faire l'objet d'un exercice. Ceci dit, ce que tu as écrit est correct:

pour montrer la convergence uniforme, il suffit de montrer que la norme infinie du reste d'ordre n de cette série tend vers 0. Et si la norme infinie du reste d'ordre n de cette série ne tend pas vers 0, il n'y a pas convergence.

On peut cependant étudier la continuité de la somme S en utilisant seulement le programme de Spé PC à l'aide de la notion de convergence normale.

La limite de S en plus l'infini peut également être calculée dans le cadre du programme de Spé PC.

 Posté par 
perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 86-1  24-01-09 à 17:09
Bonjour, monrow  

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Je proposerai demain un exercice d'algèbre  (planche 101 - II)

 Posté par 
gui_toure : Officiel de la Taupe: planche 86-1  27-01-09 à 17:47
Re,

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Effectivement, j'avais mal lu le fichier PDF à propos de la continuité : c'était un "CU[niformément]" et pas un "CS[implement]".

Tu me conseilles d'étudier la convergence normale, mais je trouve que, à n>0 fixé,  (valeur atteinte pour x=n ou -n)

Donc on n'a pas la convergence normale, mais quid alors de la continuité de S ?

D'ailleurs, le contraire m'aurait étonné :

la convergence normale entraîne la convergence uniforme, et ce serait alors bizarre de demander s'il y a convergence uniforme ...

Ma prof m'a conseillé de travailler sur un segment [-a,a] "car la continuité est une propriété locale" mais je n'ai pas compris .. 

Bref, je lui demanderai plus de précision demain, si je ne trouve pas d'ici là !

 Posté par 
Nightmarere : Officiel de la Taupe: planche 86-1  27-01-09 à 18:34
Salut 

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C'est tricher que d'invoquer M. Fourier pour dire que  ? 
 Posté par 
perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 86-1  27-01-09 à 22:02
Bonsoir, gui_tou 

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C'est exact, la série de fonctions ne converge pas normalement sur R.

Par contre, elle converge normalement sur tout segment [-a,a].

Ce qui prouve que pour tout segment [-a,a], la restriction de S à [-a,a] est continue.

Tout réel x appartient à un segment [-|x|-1,|x|+1]; la restriction de S à ce segment est continue, ce qui prouve que S est continue en x.

 Posté par 
perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 86-1  27-01-09 à 22:11
Bonsoir, Nightmare 

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Merci de m'avoir rappelé ce résultat

 Posté par 
gui_toure : Officiel de la Taupe: planche 86-1  28-01-09 à 19:42
Bonsoir 

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Citation :
C'est exact, la série de fonctions ne converge pas normalement sur R.

Par contre, elle converge normalement sur tout segment [-a,a].

Ce qui prouve que pour tout segment [-a,a], la restriction de S à [-a,a] est continue.

Tout réel x appartient à un segment [-|x|-1,|x|+1]; la restriction de S à ce segment est continue, ce qui prouve que S est continue en x.

D'accord, je pense avoir un peu mieux compris, merci !

Ce qui me bloquait, c'était de dire que la série de fonctions ne converge pas normalement sur IR, mais qu'elle est continue en tout réel x.

Donc j'imagine qu'elle converge uniformément sur tout segment [-a,a], mais qu'on demande la convergence uniforme sur IR entier, juste ?

Quant à la limite, je dois relire les cours en ligne.

Encore merci 
  Posté par 
perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 86-1  31-01-09 à 01:17
Bonjour.

Voici une solution de l'exercice 

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Il est clair que pour tout  de . On en déduit que   converge simplement sur .

Soit  un segment inclus dans . On a:   
On en déduit la convergence normale de  sur .

 est donc continue sur  comme série uniformément convergente sur tout segment  de fonctions continues.

Une première idée pour étudier la convergence uniforme de  sur  serait d'étudier la convergence normale de  sur . Mais une étude rapide de  (dérivée, tableau de variations) montre que:   

    et    diverge.

Donc, cette idée n'aboutit pas, mais elle permet de penser que   ne converge pas uniformément sur  . Elle permet également de deviner la minoration qui va être utilisée ensuite.

Pour montrer que  ne converge pas uniformément sur , il suffit de montrer que la suite  définie par   ne converge pas uniformément vers 0 sur . On a:

Donc,  ne converge pas uniformément vers  sur . 

Citation :
Et la série  ne converge pas uniformément sur .

Le fait de savoir que  ne converge pas uniformément sur  nous fait penser qu'il est probablement faux que:

La suite nous montrera que, effectivement, ce n'est pas le cas.

On va donc chercher à encadrer . Sachant que la fonction       est décroissante, on a:

D'où, en sommant: