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olmypiade

Posté par jalila (invité) 26-08-06 à 18:42

  bonjour                         a et b et c des nombres réels non nuls tel que ab+bc+ca=0
calculez    s=(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : olmypiade 26-08-06 à 18:58

salut

S = (a + b + c)/a - 1 + (a + b + c)/b - 1 + (a + b + c)/c - 1

S = (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) - 3

S = 0 - 3   car de ab + bc + ca = 0 on tire 1/a + 1/b + 1/c = 0 en divisant par abc non nul.

Donc, sauf erreur, S = -3

Posté par
caminille
Coucou 26-08-06 à 19:03


Essayons ...
s=(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c

S= [ bc(b+c)+ac(c+a)+ab(a+b)]/(abc)

S = [(b2x c2x (bc)2)+(a2x c2x (ac)2) + [(b2x a2x (ba)2)]/(abc)

S = [(2bc)[/sup]+ (2ac)[sup]+ (2 ab)[/sup]]/(abc)

S= [ ( 2(bc+ac+ab))[sup]2
]/(abc)
OR ab+bc+ca=0
D'ou S = ( 2 x 02)/(abc)
Donc s={0}

????

Posté par
caminille
re 26-08-06 à 19:04

Rrr non j'ai vu C'est pas obn ce que j'ai dit tenpis lol
Bonne fin de vacances à tous slt !!

Posté par jalila (invité)re 26-08-06 à 19:05

j'ai pas compris .

Posté par jalila (invité)re 26-08-06 à 19:07

j'aimerai bi1 qu'un correcteur me montr une façon plu facil que cell ci et qu'il m'explique si c'est possible et merci

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : olmypiade 26-08-06 à 19:10

Qu'est ce que tu n'as pas compris jalila ?

Je te montre le debut :

Tu as (b + c)/a alors si tu rajoutes 1 = a/a tu obtiens (b + c)/a + a/a soit (a + b + c)/a okay ??

Donc finalement on a bien (b + c)/a = (a + b + c)/a - 1 d'accord ?

Tu fais pareil avec les deux autres termes de la somme S sauf que tu ajoutes b/b et c/c qui valent toujours 1.

Dis moi si c'est mieux

Posté par jalila (invité)re 26-08-06 à 19:18

nn j'ai pas compris stp tu epux me dire comment ona ajouté le a/aça va pas changer l'opération?

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : olmypiade 26-08-06 à 19:26



Si ca change et c'est pour ca que j'ai soustrait 1.

Par exemple tu peux ecrire X = X + 1 -1

Ca donne (b +c)/a + a/a - a/a = (b +c + a)/a -1

Si tu ajoutes et soustrais la meme chose tu ne change pas le calcul

Posté par
lyonnais
re : olmypiade 26-08-06 à 19:27

Bonjour

jalila >

olmypiade

Je ne vois pas ce que tu ne comprends pas dans ce qu'a fait Minkus ( bonjour au passage )

S = (b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c

Or on a :

(b+c)/a = (b+c)/a + a/a - a/a = (a+b+c)/a - 1

(c+a)/b = (c+a)/b + b/b - b/b = (a+b+c)/b - 1

(a+b)/c = (a+b)/c + c/c - c/c = (a+b+c)/c - 1

Donc on a :

S = (a+b+c)/a - 1 + (a+b+c)/b - 1 + (a+b+c)/c - 1

soit

S = (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 3

Pour la suite, autre façon de procéder :

1/a + 1/b + 1/c = bc/abc + ac/abc + ab/abc = (ab+bc+ca)/abc = 0/abc = 0

Et finalement :

S = (a+b+c)(0) - 3 = -3

Romain

Posté par jalila (invité)RE 26-08-06 à 19:28

ça y ' est j'ai bien compris cet étape

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : olmypiade 26-08-06 à 19:36

Salut lyonnais, merci pour les details. Joli le bandeau

Posté par jalila (invité)we 26-08-06 à 19:39

we c'est fait j'ai bien compris je vous remercie beacoup

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : olmypiade 26-08-06 à 19:41

Pas facile ces olympiades pour un eleve de 3e. Ce sont les olympiades d'ou ?

Posté par
lyonnais
re : olmypiade 26-08-06 à 19:46

Bonne question Minkus !

Pour le bandeau : je crois qu'il faut remercier puisea, je lui avais piqué dès que j'avais connu l'île (ie en 2004).

ROmain

Posté par jalila (invité)re 26-08-06 à 19:51

moi je les ai trouvé dans forum marocain

Posté par jalila (invité)re 26-08-06 à 19:53

tu veux le site?

Posté par
lyonnais
re : olmypiade 26-08-06 à 19:58

Oui on veut bien le site s'il te plait !

Romain

Posté par jalila (invité)re 26-08-06 à 20:00

www.mathsmaroc.jeun.fr
voilà

Posté par jalila (invité)re 26-08-06 à 20:04

tu l'as trouvé?

Posté par
lyonnais
re : olmypiade 26-08-06 à 22:18

Merci pour le lien

Je connaissais déjà le site ...

Romain

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 13:14

bonjour
pouvez vous svp me dire comment vous avez fait pour obtenir -3 je sais pas comment vous avez fait

Posté par
_Estelle_
re : olmypiade 27-08-06 à 13:32

Bonjour jalila


Comprends-tu comment lyonnais est arrivé à :

S = (a+b+c)(0) - 3 = -3

?


Ensuite, tu sais que le produit d'un nombre par 0 est toujours nul, on a donc :

S = 0 - 3


Donc on peut conclure que :

S = -3.


Si tu n'as pas compris l'expression que j'ai utilisée au départ, reprends le post de Lyonnais

Estelle

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 13:38

nn ce que je n'ai pas compris c'est quand il avait fait:

S = (a+b+c)/a - 1 + (a+b+c)/b - 1 + (a+b+c)/c - 1
comment il avait fait après pour obtenir -3
et merci

Posté par
_Estelle_
re : olmypiade 27-08-06 à 13:42

De :


S = (a+b+c)/a - 1 + (a+b+c)/b - 1 + (a+b+c)/c - 1

à :

S = (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 3


Le facteur (a+b+c) s'explique par le numérateur commun à toutes les fractions de l'égalité.

Le facteur (1/a + 1/b + 1/c) provient du dénominateur des fractions.

Le -3 provient des termes : - 1 - 1 - 1


Tu comprends ?


Estelle

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 13:51

nn ma chère j'ai pas compris coment il a fait pour obtenir -3 moi je sias que ça provient de -1 -1 -1 mais je sias pas comment on a fait

Posté par
elda
re : olmypiade 27-08-06 à 14:14

lyonnais a bien détaillé pourtant.

tu es d'accord sur S=\frac{a+b+c}{a}-1+\frac{a+b+c}{b}-1+\frac{a+b+c}{c}-1?
après il a juste additionné les -1 ensemble, et pour le reste il a montré que ça faisait 0.

Posté par
_Estelle_
re : olmypiade 27-08-06 à 14:15

Citation :
j'ai pas compris coment il a fait pour obtenir -3 moi je sias que ça provient de -1 -1 -1 mais je sias pas comment on a fait

Je ne comprends pas...

Estelle

Posté par
_Estelle_
re : olmypiade 27-08-06 à 14:15

Salut elda

Estelle

Posté par
elda
re : olmypiade 27-08-06 à 14:16

Bonjour Estelle

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 15:16

nn parce  que on a le 1 dan le dénominateur

Posté par
_Estelle_
re : olmypiade 27-08-06 à 15:17

3$ \frac{a+b+c}{a} = (a+b+c) \times \frac{1}{a}



Estelle

Posté par
elda
re : olmypiade 27-08-06 à 15:20

ah non pas du tout!
\frac{b+c}{a}=\frac{b+c}{a}+\frac{a}{a}-\frac{a}{a}=\frac{b+c+a}{a}-\frac{a}{a}=\frac{a+b+c}{a}-1

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 15:20

we ça je le conné

Posté par
elda
re : olmypiade 27-08-06 à 15:21

re Estelle, en fait d'après ce que j'ai compris jalila pensait que le -1 était au dénominateur avec le a.

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 15:25

we justement

Posté par
elda
re : olmypiade 27-08-06 à 15:26

ba t'as regardé ce que j'ai écrit 15:20 ?
c'est ok maintenant?

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 15:28

we merciiiiiiii beaucoup vous êtes trop gentilles toutes les deux merci beaucoup

Posté par
elda
re : olmypiade 27-08-06 à 15:34

de rien, contente qu'on ai pu t'aider.
Si ça te tente, un petit exo pas trop dûr pour t'amuser:
Soient a, b, et c trois réels strictement positifs tels que ab+bc+ac=1. Montrer que:
\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \ge \sqrt{3}+\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}
 \\

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 15:59

on peut mêtre
(1+1+1)/(a+b)(b+c)(c+a)=3/(a+b)(b+c)(c+a)   (1)
racine 3 +(ab+ac+bc)/(a+b)(b+c)(c+a)=racine 3+1/(a+b)(b+c)(c+a)   (2)
d'après (1) et (2) 1/a+b+.............

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 15:59

c'est juste?

Posté par
elda
re : olmypiade 27-08-06 à 16:02

non, pour la (1) par exemple, si tu les met au même dénominateur avec comme dénominateur commun (a+b)(b+c)(c+a), au numérateur tu auras (b+c)(c+a)+(a+b)(c+a)+(a+b)(b+c), et non pas 1+1+1. je sais pas ce que t'as voulu faire mais...

Posté par jalila (invité)we 27-08-06 à 16:03

weeeeeeeeee j'ai oublié

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 16:06

di moi cet exercice de quel niveau

Posté par
elda
re : olmypiade 27-08-06 à 16:10

c'est un exo facile d'OIM. mais bon tu peux quand même réussir à simplifier le truc.

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 16:16

j'ai pas pu résoudre

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 16:22

tu peux me donner la réponse

Posté par
elda
re : olmypiade 27-08-06 à 16:29

oki, jte donne la soluce alors:
\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \ge \sqrt{3}+\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}

\Longleftrightarrow \frac{1}{a+b}-\frac{ab}{a+b}+\frac{1}{b+c}-\frac{bc}{b+c}+\frac{1}{c+a}-\frac{ca}{c+a} \ge \sqrt{3}

Maintenant tu sais que:
\frac{1}{a+b}-\frac{ab}{a+b}=\frac{1-ab}{a+b}=\frac{ab+bc+ac-ab}{a+b}=\frac{bc+ac}{a+b}=\frac{c(a+b)}{a+b}=c
de la même façon: \frac{1}{b+c}-\frac{bc}{b+c}=a et \frac{1}{c+a}-\frac{ca}{c+a}=b.

On a donc:
\Longleftrightarrow a+b+c \ge \sqrt{3}

\Longleftrightarrow  (a+b+c)^2 \ge 3

\Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \ge 3

\Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 1

\Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac
et ça c'est vrai par l'inégalité de réordonnement.

Posté par jalila (invité)re 27-08-06 à 16:39

on a pas encore étudié des règles que tu as utilisé comme une identité remarquable moi chui juste en troisième

Posté par
elda
re : olmypiade 27-08-06 à 16:43

les identités remarquables ça se voit en 3e.
y a juste le dernier truc, que c'est sûr t'as pas pu voir.

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