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Niveau seconde
Olympiade de math 2
Posté par FanDeMath
Bonjour à tous ,j'avais déjà fait un poste mais le forum demande à ce que un sujet ne possède qu'un seul exercice , ce que je tiens à respecter c'est pourquoi j'ouvre ce sujet N°2 , cette fois ci la question me semble un peu plus compliqué ( mais c'est relatif bien sûr ) ( Je l'ai posté sans le faire exprès dans la mauvaise section 
( une question 14 qui vous permettra d'ailleurs de mieux comprendre le principe ) : Le questionnaire de l'OMB comporte 30 questions . Une bonne réponse rapporte 5 points , une abstention rapporte 2 points et une réponse fausse aucun point . Quel est le nombre de scores possible ?
( J'ai essayé de résoudre l'exercice , je pensais même avoir réussi , mais en regardant la bonne réponse j'étais assez bouleversé ) . Voici ce que je fais
Le score dépend du nombres de 5 et du nombre de 2, plus un détail à préciser ensuite.
Le nombre de 5 va de 0 à 30 ce qui fait 31 possibilités. Supposons qu'il y ait 10 fois le 5 il nous sera possible d'avoir le 2 entre 0 et 20, on complétera alors avec des zéros.
Pour 0 '5' il y a 31 possibilités de choisir les 2 et donc les 0.
Pour 1 '5' il y a 30 ...
Pour 2 '5' il y a 29 ...
par conséquent on aura 31+30+29+...+1 Possibilités.
Parmi ces possibilités certaines donnent le même résultat par exemple considérons la notation (a,b,c) avec a le nb de 5, b le nb de 2 et c le nb de 0:
(2, 0, 28) et (0, 5, 25) donnent le même score : 10 il faudra donc en décompter 1
de même (4, 0, 26); (2, 5, 23) et ((0, 10,20) : 20 il faudra en.... 2
de même (6, 0, 24);...il faudra en ... 3
de même (8, 0, 22);... il faudra en ... 4
on peut jouer avec les ordres par exemple ( 4 ; 0 , 26 ) = 20
( 4 : 1 ; 25) =22 et
(3 : 1 ;26 ) = 17 , donc quand on déplace un 5 , pour le mettre dans un 2 on fait ) -3 et quand on déplace un 0 on fait +2 ce qui est logique , et comme on a trouvé les nombres ronds , on peut se dire que les réponses de la forme .2 et .7 sont toutes possibles ?
Mais ça m'a l'air beaucoup trop long , qu'en pensez vous ? Merci beaucoup
Bonsoir et bonne année
Le problème est assez simple :
quel score minimal : 0
quel score maximal =150
combien ne peuvent être obtenus avec des 5 ou des 2 ?
Bonjour,
moi je chercherais juste pour quelles valeurs de s (le score) l'équation 5x + 2y = s n'a pas de solutions dans 
:
il y a un nombre fini très faible de valeurs de s qui ne marchent pas
et que pour toutes les valeurs de s > une certaine valeur, c'est toujours possible (le démontrer)
donc la recherche de ces valeurs "exceptionnelles" impossibles est assez rapide !
d'autre part le score maxi est avec les 30 réponses bonnes
donc le nombre de scores possibles est simplement le nombre de nombres entiers ≤ ce maximum
sauf les quelques valeurs impossibles.
Bonne année mathafou,
Je suis assez content quand ma solution rejoint la vôtre, surtout en géométrie.
D'accord merci beaucoup ! 
Je vais essayé en prenant bien en compte vos conseils
Déjà x+y >/ 30
Et 5x+2y est compris entre 0 et 150 ( inclus )
Ce qui est impossible :
Forcement 1
149 car x+y>/30 or 149=5.29 + 2.2 ( On s'aperçoit ici que le score maximum possible en utilisant des 5 ET des 2 est 147 )
donc 148 est impossible aussi
Pour faire ceux qui se finissent par 6 , il faut que ça soit de la forme 5.x+2.3 avec x étant un nombre pair
5x+2.3 = 146
5x=140
x = 28 mais 28+3 = 31 donc impossible aussi ( mais 144 lui est faisable )
Ensuite pour faire ceux qui se terminent par 3 , il faut faire 5.x + 2.4 avec x étant impaire
5x+8=143
x=27 mais 27+4 = 31 donc impossible aussi , ( mais 141 est possible )
Donc on a notre petit liste : 1 143 146 148 149
La réponse est donc 145 scores possibles 
Merci beaucoup c'est comme ça qu'on devait faire non ? Ou j'ai mal compris votre message et vous faites autrement , si oui expliquez moi s'il vous plaît , je suis preneur de toutes les façon de faire 
x+y ≤ 30 x et y ∈ N , y compris 0 et 30
rien n'interdit d'avoir toutes les réponses bonnes : x = 30, y = 0 (et z = 0) score = 30*5 = 150 est possible !
ni de s'abstenir de répondre à toutes les questions (x = 0, y = 30)
ni d'avoir toutes les réponses fausses (x = 0, y = 0, z = 30) score = 0
ta liste de valeurs impossibles est donc complètement fausse.
et ton raisonnement pour savoir si un score est possible ou pas est faux aussi d'ailleurs :
Citation :
pour toutes les valeurs de s > une certaine valeur S0, c'est toujours possible (le démontrer)
pour toutes les valeurs de s > une certaine valeur S0, c'est toujours possible (le démontrer)
en d'autre termes, il suffit de tester (à la main) les quelques valeurs de s < S0 et ensuite l'ensemble [S0; +oo[ est acquis par cette démonstration (qu'il faut faire)
plus précisément puisque x, y ≤ 30, l'ensemble [S0; 150]
S0 est très petit ici !!
il existe un théorème pour généraliser ça à toutes les équations ax + by = s
la valeur de S0 (plus exactement la plus grande valeur de s pour laquelle c'est impossible, donc S0 - 1) est appelée le "nombre de Frobenius" de (a, b)
et même de façon encore plus générale d'une équation ax + by + cz + dt ... = s
le nombre de Frobenius de l'ensemble {a,b,c,d, ...}
et il y a même une formule très simple pour le calculer dans le cas de deux variables. (après ça se complique !)
il y a même un théorème (Schur) qui permet d'éviter de tester manuellement les valeurs < S0 qui donne directement le nombre de ces valeurs impossibles.
on ne demande absolument pas ici de démontrer ni d'utiliser ces théorèmes généraux, compte tenu des faibles valeurs en jeu, la preuve se fait de façon numérique directement.
oups. oublie ce que j'ai dit.
effectivement la contrainte x+y ≤ 30 ajoute aussi quelques impossibilités "vers la fin" que l'on doit tester à la main.
ton raisonnement est en fait correct et ta liste est donc finalement "presque bonne". (comment tu fais 3 ?)
Je me suis bien un peu trompé :p Je dois rajouter 3 à la liste d'impossible , mais de base il y'a 151 score [0:150] , j'en avais compté 150 , donc il y a 6 impossible , ce qui fait 151-6 = 145
Merci beaucoup , j'ai +ou- compris votre message est ce que cette formule donne une réponse ? Comment calculer le S0 ? merci beaucoup !
si on ignore la contrainte x+y ≤ 30
on "remarque" que
0 est possible
1 n'est pas possible
2 est possible
3 n'est pas possible
4 est possible, 6 = 4 + 2 est possible et de même que tous les nombres de la forme 4 + 2n, qui sont tous les nombres pairs ≥ 4
5 est possible, 7 = 5 + 2 est possible et de même que tous les nombres de la forme 5 + 2n, qui sont tous les nombres impairs ≥ 5
et comme tous les nombres sont soit pairs soit impairs, cela recouvre l'ensemble de tous les nombres entiers.
on a ainsi déterminé le plus grand nombre impossible g(2,5) = 3 (nombre de Frobenius),
S0 = 4 et prouvé que tous les nombres ≥ 4 sont possibles.
avec la contrainte supplémentaire que x+y ≤ 30 c'est comme tu as fait (ou un raisonnement équivalent) pour les nombres "vers la fin" de la liste.
pour un théorème général (par pure curiosité) chercher "nombre de Frobenius".