Niveau autre

Olympiades 2001 -

Posté par
pppa 03-10-12 à 19:08

Bonjour à tous

pouvez-vous svp m'aider à résoudre ce problème.

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Ensorceler un nombre, c'est calculer le quotient de la différence du triple de ce nombre et de 5, par la somme de ce nombre et de 1.

1/ pour gagner le tournoi des sorciers, Harry Poter doit résoudre l'énigme suivante : Qu'advient-il d'un nombre ensorcelé 2000 fois ?

2/ Harry Poter affirme que certains nombres refusent de se laisser ensorceler une fois, deux fois, plusieurs fois ; a-t-il raison ? Si oui, quels sont ces nombres, si non, pourquoi ?

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J'ai commencé par formaliser l'énoncé. Soit a un nombre, le nombre "ensorcelé" s serait :

$\rm s=\dfrac{3a-5}{a+1}$ , j'ai fait des tests avec qqs valeurs numériques pour a, mais ce type d'énoncé me laisse perplexe, mais je serais intéressé par la solution.

Merci d'avance aux spécialistes de ce type de problèmes de m'aider, je sais qu'il y en a qui fréquentent ce site.

Posté par re : Olympiades 2001 - 03-10-12 à 19:18

en continuant de avec un moteur de recherche hors de ce site, j'ai trouvé ceci qui renvoie au site

Harry Potter (Olympiades 2001)

et qui me semble-t-il répond bien à la question

S'il y avait des avis complémentaires, je les lirais avec intérêt

Posté par re : Olympiades 2001 - 03-10-12 à 19:29

Bonjour,

Calcule
s(s(a)) ,s(s(s(a))),...

Pour le premier terme dans s(a) tu remplaces a par s(a)
...

Alain

Posté par re : Olympiades 2001 - 03-10-12 à 19:33

Bonjour Alain

merci de répondre

C'est effectivement la solution préconisée par la personne qui a proposé une solution dans le sujet en lien, et je pense que c'est ce qu'il faut faire.

J'ai refait les calculs de mon côté, pour être sûr de bien manipuler les comppositions de fonctions, je trouve les mêmes résultats, et j'aboutis aux mêmes conclusions.

Posté par re : Olympiades 2001 - 03-10-12 à 19:54

Oui,

Les fonctions homograhiques h ont une 'loi de
composition interne'
$h_1(h_2(a))=h_3(a)$ :
Quand tu les composes tu obtiens une autre fonction
homographique.

La fonction étudiée admet deux points fixes 1+/-2i et vérifie
l'équation:
$\frac{s-(1-2i)}{s-(1+2i)}=i\times \frac{a-(1-2i)}{a-(1+2i)}$ (1)

Le i correspond au cycle 4 ,i^4=1

$\frac{s^{[n]}-(1-2i)}{s^{[n]}-(1+2i)}=i^n\times \frac{a-(1-2i)}{a-(1+2i)}$

s^[n] signifie n ième itérée de s(a),

Alain

Alain