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Optimisation cercles inscrits tangents

Posté par
elsamathovore
24-05-22 à 15:35

Bonjour,

j'ai un exercice d'optimisation en lien avec l'étude de variations d'une fonction. J'ai réussi à avancer mais lorsque j'arrive sur la dérivation je trouve un résultat incohérent.

Enoncé :
ABCD est un carré de côté 1. E et F sont deux points de la diagonale [AC]. Les cercles C1 de centre E et C2 de centre F sont tangents entre eux et tangents chacun à deux côtés du carré.

Quels sont les positions des points E et F et les rayons respectifs de C1 et C2 pour que la somme des aires des deux cercles soit maximale ?


Mes recherches:
R1 est le rayon du cercle C1 et R2 le rayon du cercle C2

AC =sqrt(2)

AC=sqrt(2)R1+sqrt(2)R2+R1+R2= sqrt(2)

R2=-R1+2-sqrt(2)

S est la somme des aires des 2 cercles, R=R1:
S(R) = R1²+R2²
S(R)= R1²+(sqrt(2)/(1+sqrt(2))²-R)²

S'(R)=4R
J'ai du mal a trouvé le maximum, en fait je ne sais pas à quel intervalle appartient R. J'aurais dit ]0;1/2] mais je ne sais pas, je ne sais plus. Je sais que F se trouvera en (0,5;0,5) mais je n'arrive pas à démontrer.

Si quelqu'un pourrais m'aider, merci.

Optimisation cercles inscrits tangents

**image rapatriée**

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 15:46

Bonjour,
Le passage de
AC=2R1+sqrt(2)2R2+R1+R2= 2
à
R2=-R1+2-2
est faux

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 15:48

Oups:
Le passage de
AC=2R1+2R2+R1+R2= 2
à
R2=-R1+2-2
est faux

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 15:50

Oups à nouveau.
Désolé, c'était juste!

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 15:53

Ah excusez-moi j'ai oublié de mettre les étapes de mon développement c'est pour ça que c'est moins pratique. Je pourrai les poster dans 15 minutes si ça peut servir pour m'aider.

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 15:58

Non, c'est bon.
Par contre, je trouve que:
S(R_1)=2\pi (R_1^2+(\sqrt{2}-2)R_1+3-2\sqrt{2})

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 16:04

Ah c'est certainement  ça ! Je regarde ça pour comprendre mon erreur.

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 16:13

En fait je ne vois pas d'où sors 2 et le reste si vous pouvez m'expliquer votre raisonnement ça m'aiderait beaucoup.

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 16:25

Je préférerais que tu m'expliques comment tu es arrivée à ça:
S(R)= R1²+(sqrt(2)/(1+sqrt(2))²-R)²
Il y a du R et du R1 ce qui est étrange puisqu'ils dépendent l'un de l'autre

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 16:39

Je crois m'être mélangé dans les valeurs:
S = (R1²+R2)
Donc
S(R1)=(R1²+(2-sqrt(2)-R1)²)

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 16:40

Sans le dans la parenthèse pour R2²

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 16:41

Je crois m'être mélangé dans les valeurs:
S = (R1²+R2²)
Donc
S(R1)=(R1²+(2-sqrt(2)-R1)²)

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 16:42

Rectification

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 17:14

Je voudrais savoir si je m'engage dans la bonne voie avant de continuer. à développer.

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 17:26

Pour le R et le R1 c'était juste une erreur j'étais sur téléphone ce n'était pas très pratique pour insérer les symboles et les indices.

Posté par
larrech
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 17:31

Bonjour,

En l'absence de sanantonio312 qui reprendra la main quand il le voudra.

Ton expression donnant S(R1) est exacte.
Je te conseille d'étudier les variations de cette fonction étant entendu que R1 varie dans un certain intervalle que je te laisse déterminer (regarde sur le croquis)

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 17:35

Je confirme ce qu'a écrit larrech que je salue au passage
Pour étudier cette fonction, il est intéressant de développer le carré dans la parenthèse et d'ordonner le polynôme en R1

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 17:49

En développant, je trouve:

S(R1) = (R1²+(2-sqrt(2))²-2(2-sqrt(2))R1+R1²)
S(R1) = (2R1²-2(2-2)R1+(2-2)²)

S'(R1) = 4R1-2(2-sqrt(2))

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 17:56

Oui

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 17:57

Est-ce juste ? Et, est-il judicieux d'utiliser la forme canonique ?

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 17:58

Au lieu de la dérivée ?

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 17:59

Tu cherches un maximum d'une fonction polynôme de degré 2 dont le coefficient des x² (ou R12) est positif...

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:03

Donc S'(x)=4x-2(2-sqrt(2))
S'(x) = 0
S'((-sqrt(2)+2)/2)=0

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:03

D'où l'intérêt de la remarque de larrech

Citation :
Je te conseille d'étudier les variations de cette fonction étant entendu que R1 varie dans un certain intervalle que je te laisse déterminer (regarde sur le croquis)

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:05

Citation :
Donc S'(x)=4x-2(2-sqrt(2))
S'(x) = 0
S'((-sqrt(2)+2)/2)=0

es-tu sure que S'(x)=0 corresponde bien à un maximum?

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:06

Je te rappelle un de mes derniers messages:

Citation :
Tu cherches un maximum d'une fonction polynôme de degré 2 dont le coefficient des x² (ou R12) est positif...

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:07

Mais du coup, la fonction est croissante et n'admet pas de maximum. A vrai dire je suis un peu mélangé car je suis malade.

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:08

R1 est dans un intervalle... Toujours la remarque de larrech

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:12

ah oui merci, je ne crois pas que ce soit ça mais R1 est dans l'intervalle ]0 ; sqrt(2)/2].

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:16

Pas tout à fait
Ok pour \dfrac{\sqrt{2}}{2}
Mais à la valeur maximale de R1 correspond la valeur minimale de R2
Et à la valeur maximale de R2 correspond la valeur minimale de R1
Ce qui te permet de déterminer la borne inférieure de l'intervalle

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:20

Non. C'est faux.
\dfrac{\sqrt{2}}{2}, ça sort du carré

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:25

Serait-ce alors R1[sqrt(2)/2-2+sqrt(2);sqrt(2)/2]
Soit [(3sqrt(2)-4)/2;sqrt(2)/2]

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:26

Erreur:
[(3sqrt(2)-4)/2;sqrt(2)/2]

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:27

Non.
Quel est le rayon du cercle le plus grand qui entre dans le carré?

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:28

est-ce que la valeur maximale de R1 est alors 1/2

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:29

Un cercle de rayon \dfrac{\sqrt{2}}{2} passerait par les 4 sommets du carré!!!

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:30

Citation :

est-ce que la valeur maximale de R1 est alors 1/2
OUI

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:30

Merci, je m'étais embrouillé (un peu comme tout le long...)

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:32

Moi aussi
Avec ça, tu trouves R2 puis Smax

Je dois te laisser.
Je reprends plus tard dans la soirée au cas où

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:32

Donc R1 [0;1/2]

(je crois que je me suis trompée sur la borne inférieure)

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:33

Ce n'est pas 0 car les deux cercles sont tangents.
La borne inférieure est la valeur de R2 qui correspond à la valeur maximale de R1 (1/2)

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:34

Ou, si tu préfères, la valeur de R1 lorsque R2=1/2

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:52

J'ai peut-être compris:
R1 [-1/2+2-sqrt(2);1/2]
soit R1 [(-2sqrt(2)+3)/2;1/2]

Et donc R2 [1/2;(-2sqrt(2)+3)/2]

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 18:56

Non. Un rayon ne peut pas être négatif

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 19:01

Je pense me tromper sur R2:
[(-2sqrt(2)+5)/2;1/2]

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 19:03

Je désespère, je suis stupide, je crois que je n'arrive pas à me modéliser la situation dans la tête. Pour le rayon de R1 il n'est pas négatif...

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 20:46

Je ne pense pas trouvais, je cherche depuis un moment, si tu pouvais me proposer l'intervalle avec une explication ce serais bien. Pour que je finisse la suite.

Posté par
elsamathovore
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 21:05

R1 appartient à [(sqrt(2)-1)/5;1/2]

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 23:31

R1 max: 1/2
R2=-R1+2-sqrt(2)=3/2-sqrt(2)
L'intervalle est donc \left[\dfrac{3}{2}-\sqrt{2} \; ; \; \dfrac{1}{2} \right]

Posté par
sanantonio312
re : Optimisation cercles inscrits tangents 24-05-22 à 23:33

La surface est donc maximale lorsque les rayons valent chacun l'une des bornes de l'intervalle.
2 possibilités donc

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