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Optimisation cercles inscrits tangents
Bonjour,
j'ai un exercice d'optimisation en lien avec l'étude de variations d'une fonction. J'ai réussi à avancer mais lorsque j'arrive sur la dérivation je trouve un résultat incohérent.
Enoncé :
ABCD est un carré de côté 1. E et F sont deux points de la diagonale [AC]. Les cercles C1 de centre E et C2 de centre F sont tangents entre eux et tangents chacun à deux côtés du carré.
Quels sont les positions des points E et F et les rayons respectifs de C1 et C2 pour que la somme des aires des deux cercles soit maximale ?
Mes recherches:
R1 est le rayon du cercle C1 et R2 le rayon du cercle C2
AC =sqrt(2)
AC=sqrt(2)R1+sqrt(2)R2+R1+R2= sqrt(2)
R2=-R1+2-sqrt(2)
S est la somme des aires des 2 cercles, R=R1:
S(R) = 
R1²+R2²
S(R)= R1²+(sqrt(2)/(1+sqrt(2))²-R)²
S'(R)=4R
J'ai du mal a trouvé le maximum, en fait je ne sais pas à quel intervalle appartient R. J'aurais dit ]0;1/2] mais je ne sais pas, je ne sais plus. Je sais que F se trouvera en (0,5;0,5) mais je n'arrive pas à démontrer.
Si quelqu'un pourrais m'aider, merci.
**image rapatriée**
Ah excusez-moi j'ai oublié de mettre les étapes de mon développement c'est pour ça que c'est moins pratique. Je pourrai les poster dans 15 minutes si ça peut servir pour m'aider.
En fait je ne vois pas d'où sors 2 et le reste si vous pouvez m'expliquer votre raisonnement ça m'aiderait beaucoup.
Je préférerais que tu m'expliques comment tu es arrivée à ça:
S(R)= R1²+(sqrt(2)/(1+sqrt(2))²-R)²
Il y a du R et du R1 ce qui est étrange puisqu'ils dépendent l'un de l'autre
Pour le R et le R1 c'était juste une erreur j'étais sur téléphone ce n'était pas très pratique pour insérer les symboles et les indices.
Bonjour,
En l'absence de sanantonio312 qui reprendra la main quand il le voudra.
Ton expression donnant S(R1) est exacte.
Je te conseille d'étudier les variations de cette fonction étant entendu que R1 varie dans un certain intervalle que je te laisse déterminer (regarde sur le croquis)
Je confirme ce qu'a écrit larrech que je salue au passage 
Pour étudier cette fonction, il est intéressant de développer le carré dans la parenthèse et d'ordonner le polynôme en R1
En développant, je trouve:
S(R1) = (R1²+(2-sqrt(2))²-2(2-sqrt(2))R1+R1²)
S(R1) = (2R1²-2(2-
2)R1+(2-2)²)
S'(R1) = 4R1-2(2-sqrt(2))
Tu cherches un maximum d'une fonction polynôme de degré 2 dont le coefficient des x² (ou R12) est positif...
D'où l'intérêt de la remarque de larrech
Je te conseille d'étudier les variations de cette fonction étant entendu que R1 varie dans un certain intervalle que je te laisse déterminer (regarde sur le croquis)
Donc S'(x)=4
x-2(2-sqrt(2))
S'(x) = 0
S'((-sqrt(2)+2)/2)=0
es-tu sure que S'(x)=0 corresponde bien à un maximum?
Je te rappelle un de mes derniers messages:
Tu cherches un maximum d'une fonction polynôme de degré 2 dont le coefficient des x² (ou R12) est positif...
Mais du coup, la fonction est croissante et n'admet pas de maximum. A vrai dire je suis un peu mélangé car je suis malade.
Pas tout à fait
Ok pour
Mais à la valeur maximale de R1 correspond la valeur minimale de R2
Et à la valeur maximale de R2 correspond la valeur minimale de R1
Ce qui te permet de déterminer la borne inférieure de l'intervalle
Moi aussi 
Avec ça, tu trouves R2 puis Smax
Je dois te laisser.
Je reprends plus tard dans la soirée au cas où
Ce n'est pas 0 car les deux cercles sont tangents.
La borne inférieure est la valeur de R2 qui correspond à la valeur maximale de R1 (1/2)
J'ai peut-être compris:
R1 
[-1/2+2-sqrt(2);1/2]
soit R1 [(-2sqrt(2)+3)/2;1/2]
Et donc R2 [1/2;(-2sqrt(2)+3)/2]
Je désespère, je suis stupide, je crois que je n'arrive pas à me modéliser la situation dans la tête. Pour le rayon de R1 il n'est pas négatif...
Je ne pense pas trouvais, je cherche depuis un moment, si tu pouvais me proposer l'intervalle avec une explication ce serais bien. Pour que je finisse la suite.
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