Niveau Reprise d'études

Optimisation sous contrainte

Posté par
PiggieLouis 30-05-18 à 23:12

Bonjour à tous,

Une question d'un examen me pose problème :

Soit la fonction g :² -> définie par 5x² + 8 x y + 5 y²

On s'intéresse à la distance euclidienne minimale de l'origine (0,0) à l'ensemble de niveau g(x,y) = 36

On demande de définir le problème d'optimisation correspondant fonction objectif ainsi que la contrainte.

Remarque: il est recommandé de prendre le carré de la distance dans la distance.

Ma réponse est que la fonction objectif est f(x,y) = x²+y²
sous la contrainte g(x,y) = 5x² + 8 x y + 5 y² - 36

Mais je suis vraiment pas sûr de ma réponse d'autant plus que je colle sur la recherche des points critique sur ce problème.

Merci à vous

Posté par re : Optimisation sous contrainte 30-05-18 à 23:40

bonsoir,
$\nabla g =(10x+8y,8x+10y)=(0,0)$ si et seulement si x=y=0 donc le théorème des extrema liés s'applique.

PiggieLouis @ 30-05-2018 à 23:12

Bonjour à tous,
sous la contrainte g(x,y) = 5x² + 8 x y + 5 y² - 36

Attention à ce que tu écris
g(x,y) = 5x² + 8 x y + 5 y² - 36
$\Leftrightarrow 0=36$ absurde!!!!!

Posté par re : Optimisation sous contrainte 30-05-18 à 23:45

la contrainte est 5x2 + 8 x y + 5 y2 - 36 =0.
D'après le théorème des extréma liés, si a est un extremum local,
la matrice formé du gradient de g et du gradient de f est de rang 1 en a.

Posté par re : Optimisation sous contrainte 30-05-18 à 23:47

Soit S l'ensemble  [ g  = 36 ] .
Comme g est toujours > 0 ,  Inf { x² + y² │ (x,y) S est atteint en au moins un point de S .
En un tel point     Grad(f) et Grad (g)  sont des vecteurs colinéaires .

Posté par re : Optimisation sous contrainte 31-05-18 à 00:27

Merci pour vos réponse, en revanche je peine à trouver mes extremums à partir du lagrangien L (x,y,) = x² + y² -(5x²+ 8 x y + 5 y² - 36)

Le seul moyen que je vois c'est par exemple à partir de la dérivée par rapport à y : isoler x et l'exprimer en fonction de y et puis injecter dans dérivée par rapport à x et exprimer y en fonction de , faire la même chose pour x puis tout injecter dans la derivée par rapport à mais ça m'a l'air terriblement long en considérant le temps à disposition. Voyez vous un moyen de trouver ces extremums plus directement ?

Je posterai le développement demain, en tout cas merci à vous.

Posté par re : Optimisation sous contrainte 31-05-18 à 07:40

Bonjour.

Une petite remarque : je verrais

$P(x, y) = ax^2 + by^2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0$

comme l'équation d'une conique (cercle, parabole, ...).

Posté par re : Optimisation sous contrainte 31-05-18 à 10:35

salut

$g(x, y) = 5x^2 + 8xy + 5y^2 = x^2 + y^2 + 4(x + y)^2 = OM^2 + 4(x + y)^2$

g(x, y) = 36 est l'équation d'un ellipse dont l'un des axes est la droite d'équation x + y = 0

OM est donc maximal quand x + y = 0 ... et est donc minimal quand x - y = 0 qui est l'équation de l'axe perpendiculaire au précédent

Posté par re : Optimisation sous contrainte 31-05-18 à 10:38

PiggieLouis @ 31-05-2018 à 00:27

Merci pour vos réponse, en revanche je peine à trouver mes extremums à partir du lagrangien L (x,y,

) = x² + y² -

(5x²+ 8 x y + 5 y² - 36)

Le seul moyen que je vois c'est par exemple à partir de la dérivée par rapport à y : isoler x et l'exprimer en fonction de y et

puis injecter dans dérivée par rapport à x et exprimer y en fonction de

, faire la même chose pour x puis tout injecter dans la derivée par rapport à

mais ça m'a l'air terriblement long en considérant le temps à disposition. Voyez vous un moyen de trouver ces extremums plus directement ?

Je posterai le développement demain, en tout cas merci à vous.

on peut réfléchir aussi :

L(x, y, k) = L(y, x, k) =L(-x, -y, k)