Bonjour,
je suis bloqué sur une question d'optimisation. Soient :
Je cherche à maximiser ma fonction f sur la sous-variété de dimension 1 définie par la fibre (j'ai bien vérifié que g était une submersion en tout point etc...), c'est-à-dire sur l'intersection du cylindre dans R^3 par le plan affine z = 1-x.
La sous-variété étant compacte et f étant continue, on sait qu'il existe un maximum de f sur celle-ci. Par les multiplicateurs de Lagrange, si (x,y,z) est un extrema local de f, il existe deux réels a et b tels que :
Je bloque sur la résolution d'un tel système. J'ai simplement pu déduire certaines conditions :
- il existe des valeurs telles que f soit strictement positive sur M, et si l'une des variables x,y,z est nulle, f est nulle ; on en déduit que dans le système ci-dessus, pour la recherche d'un maximum : x, y et z sont toutes non nulles et on peut diviser à notre guise ;
- x ne peut être égal à y ou à -y, car alors b = 0 et donc l'une des coordonnées est nulle ;
Je suis allé voir la solution sur Wolfram et sur Geogebra en considérant la fonction h(x) = |x(x-1)sqrt(1-x^2)| (elle provient des expressions de y et z en fonction de x par les équations de M), et j'obtiens que le maximum cherché se situe au point :
Impossible d'arriver au résultat voulu. Avez-vous des indications pour la résolution du système ? Merci.
salut
b = xy
2a = xz/y
on remplace dans la troisième :
on remplace dans (1)
sauf erreur 1 est solution de l'équation
Bonjour,
En éliminant a et b entre les 3 dernières équations, on se ramène au système :
puis en exprimant y et z en fonction de x dans la première et en regroupant les termes
qui a une racine évidente x=1, d'où les 2 autres.
Bonjour à vous deux,
et merci beaucoup ! Je suis vraiment passé à côté de la manipulation pour le coup (j'ai multiplié les lignes entre elles etc sans grand succès). Mon problème est résolu.
Encore merci, et bonne journée
Bonjour,
je suis bloqué sur une question d'optimisation. Soient :
Là, ça devient plus simple:
Donc reste à maximiser ...
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