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Niveau Master Maths
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Optimisation sous contraintes

Posté par
Rintaro
27-02-22 à 11:16

Bonjour,

je suis bloqué sur une question d'optimisation. Soient :

g : \R^3 \to \R^2, ~~(x,y,z) \mapsto (x^2+y^2-1, ~x+z-1) \\ \\ f : \R^3 \to \R, ~~(x,y,z) \mapsto xyz

Je cherche à maximiser ma fonction f sur la sous-variété de dimension 1 définie par la fibre M := g^{-1}\big((0,0)\big) (j'ai bien vérifié que g était une submersion en tout point etc...), c'est-à-dire sur l'intersection du cylindre dans R^3 par le plan affine z = 1-x.

La sous-variété étant compacte et f étant continue, on sait qu'il existe un maximum de f sur celle-ci. Par les multiplicateurs de Lagrange, si (x,y,z) est un extrema local de f, il existe deux réels a et b tels que :

\left\lbrace\begin{matrix} x^2+y^2=1\\ x+z=1\\ yz = 2ax + b\\ xz = 2ay\\ xy = b \end{matrix}\right.

Je bloque sur la résolution d'un tel système. J'ai simplement pu déduire certaines conditions :

- il existe des valeurs telles que f soit strictement positive sur M, et si l'une des variables x,y,z est nulle, f est nulle ; on en déduit que dans le système ci-dessus, pour la recherche d'un maximum : x, y et z sont toutes non nulles et on peut diviser à notre guise ;

- x ne peut être égal à y ou à -y, car alors b = 0 et donc l'une des coordonnées est nulle ;

Je suis allé voir la solution sur Wolfram et sur Geogebra en considérant la fonction h(x) = |x(x-1)sqrt(1-x^2)| (elle provient des expressions de y et z en fonction de x par les équations de M), et j'obtiens que le maximum cherché se situe au point :

\Bigg( -\dfrac{1+\sqrt{13}}{6}, ~- \dfrac{1}{3}~\sqrt{\dfrac{1}{2}(11-\sqrt{13})}, ~ \dfrac{7+\sqrt{13}}{6} ~\Bigg)

Impossible d'arriver au résultat voulu. Avez-vous des indications pour la résolution du système ? Merci.

Posté par
carpediem
re : Optimisation sous contraintes 27-02-22 à 11:39

salut

b = xy
2a = xz/y

on remplace dans la troisième :

y^2z = x^2z + xy^2   (1)


x^2 + y^2 = 1 \iff y^2= 1 - x^2
 \\ x + z = 1 \iff z = 1 - x

on remplace dans (1)

sauf erreur 1 est solution de l'équation

Posté par
larrech
re : Optimisation sous contraintes 27-02-22 à 11:43

Bonjour,

En éliminant a et b entre les 3 dernières équations, on se ramène au système :

\left\lbrace\begin{matrix} y^2(z-x)-x^2z=0\\ x^2+y^2=1\\ x+z=1  \end{matrix}\right.

puis en exprimant y et z en fonction de x dans la première et en regroupant les termes

3x^3-2x^2-2x+1=0  qui a une racine évidente x=1, d'où les 2 autres.

Posté par
larrech
re : Optimisation sous contraintes 27-02-22 à 11:44

Battu par carpediem

Posté par
Rintaro
re : Optimisation sous contraintes 27-02-22 à 11:56

Bonjour à vous deux,

et merci beaucoup ! Je suis vraiment passé à côté de la manipulation pour le coup (j'ai multiplié les lignes entre elles etc sans grand succès). Mon problème est résolu.

Encore merci, et bonne journée

Posté par
carpediem
re : Optimisation sous contraintes 27-02-22 à 12:19

larrech @ 27-02-2022 à 11:43

3x^3-2x^2-2x+1=0  qui a une racine évidente x=1, d'où les 2 autres.
et même en remplaçant sans développer le facteur 1 - x est encore plus évident !!

1 - x - (1 - x)x^2 = x^2(1 - x) + x - x^3

donc 1 - x est un facteur commun !!

Posté par
larrech
re : Optimisation sous contraintes 27-02-22 à 12:40

Que veux-tu, je n'ai pas l'agreg, moi...

Posté par
carpediem
re : Optimisation sous contraintes 27-02-22 à 13:18



c'est du niveau collège les facteurs communs !!!

Posté par
larrech
re : Optimisation sous contraintes 27-02-22 à 13:36

Je n'ai donc même pas ce niveau...

Posté par
Razes
re : Optimisation sous contraintes 27-02-22 à 17:47

Bonjour,

je suis bloqué sur une question d'optimisation. Soient :

M=\{(x,y,z)\in\R^3 ; x^2+y^2; x+z-1=0\}=\\\{(x,y,z)\in\R^3, t\in [0,2\pi]; x=\cos t, y=\sin t; x+z-1=0\}

Là, ça devient plus simple:
f (x,y,z)=xyz=\cos t\sin t (1-\cos t)=\sin (2t)\sin^2 ({\frac t 2})=h (t)

Donc reste à maximiser h (t)...

Posté par
Razes
re : Optimisation sous contraintes 27-02-22 à 17:48

Oups.  Oubliez ma réponse.



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