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Oral Centrale équivalent de fonctions

Posté par
Dexter2017
10-05-18 à 23:41

Bonsoir, j'ai travaillé un oral de centrale MP (pour ceux qui sont intéressés c'est celui de 2006) mais je ne suis pas convaincu de ma démonstration qui je pense n'est pas suffisamment rigoureuse.

  Enoncé : f est une fonction continue définie de R+ dans R telle que f(x)\int_0^{x} f²(t) dt  dt  l (réel non nul) montrer qu'il existent , non nuls tels que : f(x) /x^() en +.
remarque : désigne la relation d'équivalence pour les fonctions.

  Notons F la primitive de f² qui s'annule en 0. La primitive d'une fonction continue sur R+ étant dérivable, on montre que pour un certain fixé, que F(x) \Longleftrightarrow F( \omega)+(x- \omega)f²( \omega)   ,  pour x dans un voisinage de . Pour x+ (et donc w aussi ) , et par continuité de f² ( f² (x)f² (w) ) , on déduit que : F(x) \Longleftrightarrow (x-w)f²(x)   , (car  F(x) est borné dans un voisinage de l'infinie : le terme en F(w) s'annule car O(1))* et en  multipliant alors les deux membres par f(x), on a  finalement aboutir àf(x) \Longleftrightarrow  \sqrt[3]{\frac{l}{x-w} } or x-w=o(x) d'où la conclusion.
*: f et F ont même nature de convergence, cela se montre par la définition et le théorème de la moyenne, donc si  au moins une est divergente l'autre l'est autant est le produit dans ce cas diverge aussi d'où contradiction.

Posté par
Dexter2017
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 10-05-18 à 23:44

J'aimerais savoir si mon raisonement tient la route surtout le fait de fixer w puis la faire tendre vers l'infini et les équivalences qui me laissent assez perplexes quant à leur véracité
PS : J'ai oublié la formule de politesse : merci d'avance.

Posté par
jsvdb
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 01:12

Bonsoir Dexter2017.

Citation :
car  F est borné dans un voisinage de l'infini


Ta fonction F est positive croissante donc elle admet une limite dans \bar \R_+.

Si la limite est finie alors, f(x)F(x) tendant vers l, f(x) tendrait vers \frac{l}{L} > 0 et du coup F tend vers +\infty.
Donc F n'est pas bornée au voisinage de +\infty.

On a donc déjà le renseignement que f tend vers 0 en +\infty en décroissant.

Posté par
luzak
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 09:56

Bonjoour !
Avec tes notations f^2(x)F^2(x)=g(x) a une limite finie \ell^2.
Donc en intégrant sur [0,x],\;\dfrac{F^3(x)}3=\int_0^xg.
Par intégration des relations de comparaison, F^3(x)\underset{x \to+\infty }{\quad\simeq\quad}3\ell^2x et on aura
f(x)=\dfrac{\sqrt{g(x)}}{F(x)}\underset{x \to+\infty }{\quad\simeq\quad}\dfrac{\ell}{\sqrt[3]{3\ell^2x}}

Posté par
Dexter2017
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 11:32

A jsvbd, tu as naturellement raison F n'est pas bornée car comme l'a signalé luzak, F est équivalente à une racine cubique dans un voisinage de l'infinie et ne peut être donc borné. mais j'ai pas compris ce passage :

Citation :
f(x) tendrait vers \frac{l}{L} > 0 et du coup F tend vers +\infty

Merci à jsvbd et luzak (élégante démonstration) pour votre aide !

Posté par
boninmi
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 12:21

Si f(x) tend vers a>0 en +, sa primitive F(x) est grosso modo de la forme ax qui tend vers +. Après, il faut sûrement mettre en forme  ...

Posté par
carpediem
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 12:24

salut

je ne comprends quand même pas comment luzak intègre (deuxième ligne du msg de 9h56)

Posté par
luzak
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 12:44

@carpediem
Simple : f^2=F' et une primitive de F'F^2 est F^3/3.

@boninmi
Pour l'intégration des relations de comparaison on doit savoir à ce niveau que si \int_a^{+\infty}u est divergente, u positive, équivalente à v en +\infty alors les fonctions x\mapsto\int_a^xu,\;x\mapsto\int_a^xv sont équivalentes.

.........

Dexter2017 @ 11-05-2018 à 11:32


... mais j'ai pas compris ce passage :
Citation :
f(x) tendrait vers \frac{l}{L} > 0 et du coup F tend vers +\infty

Si f a une limite finie non nulle, l'intégrale \int_0^{+\infty}f^2 est divergente et, f^2 étant positive, la limite de F est infinie.

Posté par
carpediem
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 13:42

ha mais oui quel con !!! je pensais à f pour la dérivée

merci luzak

Posté par
luzak
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 14:32

Je me doutais bien d'une méprise de ce genre ou que tu avais tilté mon "Avec tes notations" un peu sibyllin !

Posté par
carpediem
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 18:43

mezalor pourquoi prends-tu F^2 au lieu de F simplement ?

pour éviter les problèmes de signes (de la limite) ?

merci par avance

Posté par
luzak
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 21:35

Non, c'est le produit fF qui a une limite finie par hypothèse. Pour faire apparaître la dérivée F'=f^2  j'ai élevé au carré.

Il n'y a pas de problème de signe puisque f est donnée positive...

Posté par
carpediem
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 22:06

ha oui ok ... merci

par contre faux pour la deuxième affirmation :

Citation :
Enoncé : f est une fonction continue définie de R+ dans R telle que ...
F est positive ... mais peut-être pas f ...

Posté par
luzak
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 11-05-18 à 22:27

Exact mais avec f^2 le problème disparaît.

Posté par
jsvdb
re : Oral Centrale équivalent de fonctions 12-05-18 à 12:22

L'autre raison essentielle est que f est nécessairement de signe constant à partir d'un certain A > 0.
Mais de toute façon, quel que soit le signe de f sur R+,  ça ne change rien au fait que f² = F', par construction.

jsvdb @ 11-05-2018 à 01:12

On a donc déjà le renseignement que f tend vers 0 en +\infty en décroissant.

Ce qui est en rouge est clairement faux.



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