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Niveau Maths sup
Oral Centrale équivalent de fonctions
Posté par Dexter2017
Bonsoir, j'ai travaillé un oral de centrale MP (pour ceux qui sont intéressés c'est celui de 2006) mais je ne suis pas convaincu de ma démonstration qui je pense n'est pas suffisamment rigoureuse.
Enoncé : f est une fonction continue définie de R+ dans R telle que dt
(réel non nul) montrer qu'il existent
,
non nuls tels que : f(x) 
/x^() en +
.
remarque : désigne la relation d'équivalence pour les fonctions.
Notons F la primitive de f² qui s'annule en 0. La primitive d'une fonction continue sur R+ étant dérivable, on montre que pour un certain 
fixé, que , pour x dans un voisinage de
. Pour x+ (et donc w aussi ) , et par continuité de f² ( f² (x)
f² (w) ) , on déduit que : , (car F(x) est borné dans un voisinage de l'infinie : le terme en F(w) s'annule car O(1))* et en multipliant alors les deux membres par f(x), on a finalement aboutir à
or x-w=o(x) d'où la conclusion.
*: f et F ont même nature de convergence, cela se montre par la définition et le théorème de la moyenne, donc si au moins une est divergente l'autre l'est autant est le produit dans ce cas diverge aussi d'où contradiction.
J'aimerais savoir si mon raisonement tient la route surtout le fait de fixer w puis la faire tendre vers l'infini et les équivalences qui me laissent assez perplexes quant à leur véracité
PS : J'ai oublié la formule de politesse : merci d'avance.
Bonsoir Dexter2017.
Citation :
car F est borné dans un voisinage de l'infini
car F est borné dans un voisinage de l'infini
Ta fonction F est positive croissante donc elle admet une limite dans
Si la limite est finie alors,
Donc F n'est pas bornée au voisinage de
On a donc déjà le renseignement que
Bonjoour !
Avec tes notations a une limite finie
.
Donc en intégrant sur .
Par intégration des relations de comparaison, et on aura
A jsvbd, tu as naturellement raison F n'est pas bornée car comme l'a signalé luzak, F est équivalente à une racine cubique dans un voisinage de l'infinie et ne peut être donc borné. mais j'ai pas compris ce passage :
Citation :
 tendrait vers \frac{l}{L} > 0 et du coup F tend vers +\infty)
Merci à jsvbd et luzak (élégante démonstration) pour votre aide !
Si f(x) tend vers a>0 en +, sa primitive F(x) est grosso modo de la forme ax qui tend vers +. Après, il faut sûrement mettre en forme ...
@carpediem
Simple : et une primitive de
est
.
@boninmi
Pour l'intégration des relations de comparaison on doit savoir à ce niveau que si est divergente,
positive, équivalente à
en
alors les fonctions
sont équivalentes.
.........
Dexter2017 @ 11-05-2018 à 11:32
... mais j'ai pas compris ce passage :
... mais j'ai pas compris ce passage :
Citation :
)
tendrait vers 
et du coup 
tend vers 
Si
Je me doutais bien d'une méprise de ce genre ou que tu avais tilté mon "Avec tes notations" un peu sibyllin !
mezalor pourquoi prends-tu F^2 au lieu de F simplement ?
pour éviter les problèmes de signes (de la limite) ?
merci par avance
Non, c'est le produit qui a une limite finie par hypothèse. Pour faire apparaître la dérivée
j'ai élevé au carré.
Il n'y a pas de problème de signe puisque est donnée positive...
ha oui ok ... merci
par contre faux pour la deuxième affirmation :
Citation :
Enoncé : f est une fonction continue définie de R+ dans R telle que ...
F est positive ... mais peut-être pas f ...Enoncé : f est une fonction continue définie de R+ dans R telle que ...
L'autre raison essentielle est que f est nécessairement de signe constant à partir d'un certain A > 0.
Mais de toute façon, quel que soit le signe de f sur R+, ça ne change rien au fait que f² = F', par construction.
jsvdb @ 11-05-2018 à 01:12
On a donc déjà le renseignement que
tend vers 0 en en décroissant.
On a donc déjà le renseignement que
Ce qui est en rouge est clairement faux.