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Niveau Oraux, olympiades...
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oral ens ulm 2019 (planche 2.1)

Posté par
perroquet
01-12-20 à 19:54

Bonjour à tous.

En 2019, l'ENS Ulm a mis en ligne l'ensemble des exercices proposés à l'oral de mathématiques du concours MPI cette année-là   . Cela représentait un total de 36 planches qui ont été proposées à 138 candidats admissibles (soit à peu près 4 candidats par planche).

Je vous propose ici le premier exercice de la planche 2. Il y a une solution assez simple et élégante, mais j'ai mis beaucoup de temps à la trouver.

planche 2.1 de l'oral ENS Ulm 2019


Soit n\geqslant 2 et A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb R). Soient (t_i)_{1\leqslant i\leqslant n+1} des nombres réels distincts 2 à 2. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes:

    (1) pour tout 1\leqslant i \leqslant n+1 , \det(A+t_iB)=0

    (2) il existe V,W deux sous-espaces vectoriels de \mathbb R^n tels que A(V)\subset W , B(V)\subset W et \dim W < \dim V



Solutions en blanké.

Posté par
Imod
re : oral ens ulm 2019 (planche 2.1) 02-12-20 à 12:40

Bonjour

Même si la formulation du précédent problème   Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 était un peu aride , chacun pouvait y retrouver ses petits . Là , j'ai l'impression qu'on sort largement du cadre "détente" .

Je suis sans doute de mauvaise foi ( l'algèbre linéaire ne m'a jamais emballé ) .

Le problème pourrait sans doute trouver une meilleure place sur le site , mais laquelle ?

Imod

Posté par
malou Webmaster
re : oral ens ulm 2019 (planche 2.1) 02-12-20 à 12:51

Bonjour à vous deux,
non, Imod, on ne peut guère le mettre ailleurs...le blank n'existe que dans le forum détente qui se partage en énigmes et exercices...
Amusez-vous bien !

Posté par
dpi
re : oral ens ulm 2019 (planche 2.1) 02-12-20 à 15:38

Bonjour,
C'est vrai comme le dit Imod  que notre bonne rubrique "détente" se doit de
rester ludique .
Le niveau de certains exercices est tellement élevé qu'il donne des complexes...

Posté par
malou Webmaster
re : oral ens ulm 2019 (planche 2.1) 02-12-20 à 16:01

reBonjour
y aurait-il là une demande sous-jacente ? l'ouverture d'autre chose est toujours possible
énigmes / exercices / et ??

Posté par
Imod
re : oral ens ulm 2019 (planche 2.1) 02-12-20 à 17:43

Pourquoi pas une section : Olympiades , oraux , ...

Ces exercices ont un côté attractif pour les amateurs éclairés : ludiques et non scolaires .

Imod

Posté par
malou Webmaster
re : oral ens ulm 2019 (planche 2.1) 02-12-20 à 20:18

C'est fait

Posté par
dpi
re : oral ens ulm 2019 (planche 2.1) 03-12-20 à 08:34


Maintenant,il faut inciter les participants à bien choisir ......

Posté par
perroquet
re : oral ens ulm 2019 (planche 2.1) 06-12-20 à 15:52

Bonjour.

Je suis très heureux de l'ouverture d'une section "oraux concours, olympiades".
Pour l'instant, cette section ne comporte que deux sujets, je vais tâcher d'en ajouter d'autres.
N'hésitez pas à proposer vous aussi vos questions.

Posté par
perroquet
re : oral ens ulm 2019 (planche 2.1) 06-12-20 à 15:58

Je reviens à l'exercice pour lequel personne n'a présenté de solution.
Voici une indication.

 Cliquez pour afficher

Posté par
perroquet
re : oral ens ulm 2019 (planche 2.1) 19-12-20 à 21:06

Bonjour.

Voici une solution de l'exercice.

Un modérateur pourrait-il importer ce fichier sur l'île ? Merci (malou edit > c'est fait )
(pdf rapatrié)

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