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les fonctions sont solutions (est-ce les seules ?)

avec y = 1/x on obtient aussi

et cela m'invite à penser que les fonctions solutions sont positives à cause de f(1) = 1 et la règle des signes

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En effet est solution ... Il faudrait préciser dans quel ensemble se trouve .
Il est possible qu'il n'y ait pas d'autre solution mais il faudrait le démontrer.

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Je considère la fonction f de l'énoncé sur ₊^* puisque la relation qui suit ne concerne que les strictement positifs...

1) pour tout x> 0 , f(x) (f(x))²
implique que f est positive

2) si f s'annule en un certain x, alors
0 = f(x) (f(x))²
impliquerait f(x) = 0
et par récurrence : f(xⁿ)=0 avec n=1/2^p pour tout p entier
en faisant tendre p vers l'infini et par continuité on arriverait à f(1)=0... contradiction.

donc f > 0

3 ) posons g = ln o f o exp
g est définie sur R
g(0)=0
g est dérivable sur R
la relation donnée sur f donne, pour tout x et y réels, g(x)+g(y) g(x+y)

et donc , pour un x donné, et pour tout y on a :
g(x+y) - g(x) g(y)

remarquons que g étant dérivable, les dérivée gauche et droite en chaque point sont égales à la dérivée au point

en divisant par y >0 puis en faisant tendre y vers 0 on obtient g'(x) g'(0)

et en divisant par y < 0 , puis en faisant tendre y vers 0 : g'(x) g'(0)

donc g a une dérivée constante et g(0)=0

finalement : g(x) = ax avec a un réel arbitraire

4) pour tout x > 0  on a donc

f(x) = exp(g(ln(x)) =  e ^{a ln(x)} = x^a

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j'ai oublié de préciser que si f est défini sur + il faut enlever les valeurs de a négatives dans ma conclusion puisque j'ai travaillé sur une restriction de f.

donc f(x)=x^a avec a₊

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Une très jolie solution.
En effet, la partie intéressante est sur . Et je ne vois pas trop l'intérêt de prolonger en 0 (si ce n'est pour répondre à la question de l'énoncé).
Pour que la fonction soit dérivable en 0, il n'est pas suffisant que .

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ah oui mince, je ne me suis préoccupé que de la définition et continuité en 0

tu as raison !

donc pour respecter l'énoncé on restreint à a1