Méthode 1 (sans raisonnement par l'absurde) :
Si

possède un nombre fini de sous groupes. Pour

différent du neutre, on note

pour

.
Par hypothèse, on en a un nombre fini, donc il existe

tels que

.
Donc

, donc

. Or
Donc

est d'ordre fini. Donc tout élément de

est d'ordre fini.
Or

(double inclusion directe)
Soit

l'ensemble des sous-groupes de G engendrés par un élément.
Cet ensemble est fini car inclus dans l'ensemble des sous-groupes de

.
On a donc

, réunion finie d'ensembles finis.
Méthode 2 (avec raisonnement par l'absurde) :
Si

possède un nombre fini de sous-groupes. Par l'absurde, s'il existe

d'ordre infini, alors

isomorphe à

, qui possède une infinité de sous-groupe. La relation être un sous-groupe est transitive, donc

possède une infinité de sous-groupes, absurde.
On conclut comme dans la méthode 1.
Si

fini. L'ensemble des sous groupes de

est inclus dans
)
fini (les parties de

)