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Si G est fini il est évident que G a un nombre fini de sous-groupes (puisqu'un sous-groupe est une partie de G)

il reste alors à savoir si un groupe infini a un nombre infini de sous-groupes

On peut trouver une infinité de sous-groupes en prenant chaque sous-groupe généré par chaque élément de G, mais rien ne garantit a priori qu'ils sont distincts (ou du moins qu'il y en a une infinité de distincts)

Etant donné une famille d'éléments de G tels que les sous-groupes soient tous deux à deux distincts, peut-on trouver un nouvel élément tel que soit différent de tous les ?

je laisse ça là pour le moment. ça m'a l'air d'être une piste, ou peut-être pas

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Méthode 1 (sans raisonnement par l'absurde) :
Si possède un nombre fini de sous groupes. Pour différent du neutre, on note pour .
Par hypothèse, on en a un nombre fini, donc il existe tels que .
Donc , donc . Or
Donc est d'ordre fini. Donc tout élément de est d'ordre fini.
Or (double inclusion directe)
Soit l'ensemble des sous-groupes de G engendrés par un élément.
Cet ensemble est fini car inclus dans l'ensemble des sous-groupes de .
On a donc , réunion finie d'ensembles finis.

Méthode 2 (avec raisonnement par l'absurde) :
Si possède un nombre fini de sous-groupes. Par l'absurde, s'il existe d'ordre infini, alors isomorphe à , qui possède une infinité de sous-groupe. La relation être un sous-groupe est transitive, donc possède une infinité de sous-groupes, absurde.
On conclut comme dans la méthode 1.


Si fini. L'ensemble des sous groupes de est inclus dans fini (les parties de )

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L'idée peut aboutir

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Je n'aurai pas besoin de poster ma solution, celle-ci étant très proche de ta deuxième méthode.