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Niveau seconde
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Ordre

Posté par
Narmer
10-11-15 à 21:08

Bonsoir à tous,
une aide serait la bienvenue
1)Montrez-que pour tout réel x et y
$x^{2}+$y^{2} \ge 2$xy

2) E, déduire que pour tout x ∈ à  $\mathbf{R+}$
1+ $x \ge  2\sqrt{x}

3) Montrez que si  x ∈ à $\mathbf{R+}$ et y ∈ à [tex]$\mathbf{R+} et z ∈  à [tex]$\mathbf{R+}

Alors (1+x)(1+y)(1+z) = 8\sqrt{xyz}

Merci beaucoup

Posté par
Narmer
re : Ordre 10-11-15 à 21:10

Excusez-moi

3) Montrez que si  x ∈ à $\mathbf{R+}$ et y ∈ à $\mathbf{R+}$ et z ∈  à $\mathbf{R+}$

Alors (1+x)(1+y)(1+z) = 8\sqrt{xyz}

Posté par
Leile
re : Ordre 10-11-15 à 21:12

bonjour,

Q1 : x² + y² >= 2xy

x² + y² - 2xy >= 0

reconnais une identité remarquable ...
à toi

Posté par
Narmer
re : Ordre 10-11-15 à 21:13

Que veut dire ce signe ">= " ?

Posté par
Leile
re : Ordre 10-11-15 à 21:35

>=  ca veut dire supérieur ou egal..
tu aurais pu le deviner, je pense...

tu as reconnu l'identité remarquable ?

Posté par
Narmer
re : Ordre 10-11-15 à 21:37

oui

(x-y)²>= 0

mais que faire ensuite ?

Posté par
Leile
re : Ordre 10-11-15 à 21:42

hé bien tu peux conclure : puisqu'un carré est toujours positif,
(x-y)² toujours > = 0
donc x² + y² toujours >= 2xy

c'est ce qu'on te demandait de montrer.

Q2 : même démarche
vas y

Posté par
Narmer
re : Ordre 10-11-15 à 22:01

J'ai compris

mais pour la deuxième y'a t'il une identité remarquable ?

Posté par
Leile
re : Ordre 10-11-15 à 22:03

ben oui, la meme..

1 - 2x + x   = (1-x)²

Posté par
Narmer
re : Ordre 10-11-15 à 22:04

oui mais le
√x d'où vient il ?

Posté par
Leile
re : Ordre 10-11-15 à 22:15


si 1 - 2x + x correspond à l'identité a² - 2ab + b²,
c'est que  b² = x
donc que b² = x

b  = x

donc on obtient (1- x)²    
tu peux re-développer si tu veux, pour vérifier.

Posté par
Narmer
re : Ordre 10-11-15 à 22:30

Oui, j'ai compris, merci

et pour la troisième, est ce le résultat ?

On sait que (1+x)>=2√x et (1+y)>=2√y et (1+z)>=2√z (on aura montrer ceci au préalable)

donc (1+x)(1+y)(1+z)>=2√xyz

?

Posté par
Leile
re : Ordre 10-11-15 à 22:35

oui, c'est pratiquement ça, mais attention ;

(1+x)(1+y)(1+z) >= 8√xyz
car (2x)(2y)(2z) =
2*2*2*x*y*z
=8xyz

et c'est vrai parce que x, y et z sont positifs.

OK ?

Posté par
Narmer
re : Ordre 10-11-15 à 22:36

Exactement, merci énormément pour votre aide, ce fut très utile

Posté par
Leile
re : Ordre 10-11-15 à 22:46

bonne soirée



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