Niveau Préparation CRPE

ordre

Posté par
bouchaib 19-01-22 à 00:22

bonsoir,

  exercice :
  Soient x et y deux réels strictement positifs.
Montrer que :   $x+y\prec 2\sqrt{xy}$ .
Ma réponse : j'utilise alors la propriété la plus simple au départ,
  on a :  x>0 et y>0  donc xy>0  les membres de cette inégalité est rangée de la même façon  que leurs racines carrées donc   $\sqrt{xy}\succ 0    équivaut     2\sqrt{xy}\succ 0$ .(1)
donc x+y>0 (2) et je compare x+y    à     $2\sqrt{xy}$ .

Donc on fait la différence entre (1) et (2):

$(x+y)-2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \succ 0     \forall   x    et   y \\     de     R.$
Donc :   $x+y \succ 2\sqrt{xy$    C.Q.F.D.
Merci par avance de me corriger.

Posté par re : ordre 19-01-22 à 02:45

Bonsoir

La proposition à démontrer dans l'énoncé est fausse... Si on ne précise pas que y et x sont différents, ou bien qu'on ne met pas une inégalité large.

Sinon, c'est bon.

Posté par re : ordre 19-01-22 à 02:45

Par contre je ne comprends pas tout à fait le début de ta démonstration.
La deuxième partie suffit.

Posté par re : ordre 19-01-22 à 04:50

Merci.

Posté par re : ordre 19-01-22 à 16:19

salut

ouais bizarre bizarre ...

le radicande est positif donc x et y ont même signe ...

s'ils sont négatifs c'est fini (par définition de la racine carrée d'un réel)

s'ils sont positifs on étudie le signe de leur différence ... et on reconnait ... comme tu l'as fait ...