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ordre d un élement
bonjour et avant tout bonne année
1)Un={x appartenant à C, x^n=1}
Soit g appartenant à Un et Og={k appartenant à Z, g^k=1}
(Og,+) est un groupe. En déduire qu'il existe un entier naturel unique d tel que :
{k appartenant à Z, g^k=1}=dZ
d est alors appelé ordre de g et noté D(g)
2) Montrer que D(g) divise n
3) Réciproquement, si d entier naturel divise n, construire g appartenant à Un tel que D(g)=d
4) Montrer que ij appartient à U12 et déterminer D(ij) dans ce groupe
Merci d'avance
1) Og est un sous-groupe de Z. Si t'as dans le cours que tout les sous-groupes de Z sont de la forme dZ, alors c'est fini. Sinon tu dois le démontrer.
2) Puisque g appartient à Un, alors g^n=1, ce qui signifie que n appartient à Og.
Og=dZ signifie que Og est l'ensemble des multiples de d. Donc d divise n.
Ok la 1 ouais c bon
Merci pour la 2
et 3) et 4), une idée svp?
Merci d'avance
Bonjour djibril1515
3)Tu sais probablement que l'élément est un élément de
qui est d'ordre n.
Soit d un diviseur de n. On voit assez facilement que est un élément de
et qui est d'ordre d.
Kaiser
Bonjour;
3)Soit un diviseur de
posons
il est clair que
et comme
engendre le groupe
on voit que
.
4)On a donc
Comme est commutatif,l'ordre du produit de deux de ses éléments est le ppcm des ordres de ces deux éléments et vu que
on voit que
autrement dit
est un générateur du groupe multiplicatif des racines douziémes de l'unité.
Sauf erreurs...
moi g un peu le même exos mais y'a d'autre quetions après qui sont
a) Déterminer le sous groupe de Un engendré par g en fonction de D(g)
b) Montrer que g esr générateur de Un ( cad le ss groupe engendré par g est Un) si et seulement si D(g)=n
c) Soit r
{1,...,n}
Montrer que wn^r est générateur de Un si et seulement si pgcd (r,n)=1
avec wn=exp(2i
/n)
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