Bonjour

Si tu as tel que il est clair qu'il existe (par exemple tel que .

Bien sur je voulais dire , mais de toue façon est impossible

Hein ? Ce que je voudrais savoir c'est comment on montrer que l'ordre de nilpotence d'une matrice carrée n*n nilpotente est plus petit que n. Par exemple pour une matrice A 3*3 on peut pas avoir A^5=0 et A^4 différent de 0.

Je vois

Tu peux montrer que si et la famille est libre.

Pas besoin de Cayley-Hamilton. Les noyaux emboîtés suffisent : si , alors pour tout . Donc la suite des dimensions des noyaux des , qui est croissante, stationne à partir du moment où elle pause (= a deux valeurs successives égales).

D'accord Camelia, donc si on suppose que l'ordre de nilpotence peut être supérieur ou égal à n cela implique qu'on a une famille libre d'au moins n+1 éléments ce qui n'est pas possible vu qu'on est dans un ev de dimension n. Par contre je galère un peu a montrer que c'est une famille libre. je pars sur une combinaiso ;oinéaire mais ca aboutit pas vraiment..

Tu peux faire une récurrence sur

Je pense avoir réussi.Pour A^n=0 et A^n-1 différent de 0.  Je prend cette combinaison linéaire : a0In+a1A+.....+an-1A^n-1=0. Je multiplie le tout par A*n-1 j'en déduis a0=0 car A^n-1 non nulle puis je multiplie par A^n-2 la combinaison linéaire a1A+.....an-1*A^n-1 et ainsi de suite je trouve que tous les coefficients doivent être nul.

Ah et à titre indicatif cette propriété que l'ensemble des matrices nilpotente est un fermé était en fait une question subsidiaire inutile à la démonstration :/

Petite remarque : l'espace des matrices est de dimension , et pas . Il faut modifier un peu l'argument (ou alors employer celui que je suggère).

Salut,

Une autre methode consiste a trigonaliser ta matrice nilpotente dans Mn(C). Elle est semblable a une matrice triangulaire supérieure stricte dont tu sais calculer facilement les puissances succesives. T'obtient directement que pour k superieur a n, A^k=0 .