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ordre dans R
bonsoir
j'ai un exercice que j'ai résolu mais je ne sais pas si c'est juste
soient x, y et z trois réels positifs
montrer que
(x+y)(y+z)(z+x)˃8xyz
voilà ce que j'ai fait
On a (x+y)²˃4xy donc √(x+y) ²˃2√xy
(y+z)² ˃4yz donc √(y+z)²˃2√yz
(z+x)² ˃4zx donc √(z+x)²˃2√zx
(x+y)(y+z)(z+x)˃8√x²z²y² donc (x+y)(y+z)(z+x)˃8xyz
merci
bonjour
pour trouver le 8
je l'ai démontré
j'ai compare (x+y)²-4xy
(x+y)²-4xy = x²+y²+2xy-4xy
=x²+y²-2xy
=(x-y)²
On sait que ( x+y)² ˃0 donc (x+y)²˃4xy
(x+y)² - 4xy = x² + y² - 2xy
(x+y)² - 4xy = (x-y)² >= 0
On a donc (x+y)² - 4xy >= 0
(x+y)² >= 4xy
Et comme x et y >= 0, les 2 membres de l'inéquation sont positifs. On ne change donc pas le sens de l'inquation en extrayant les racines carrées des 2 membres.
(x+y) >= 2.V(x.y) (1)
-----
Pareillement, on obtient :
(y+z) >= 2.V(y.z) (2)
et
(x+z) >= 2.V(x.z) (3)
(1), (2) et (3) -->
(x+y)(y+z)(z+x) >= 2.V(x.y) * 2.V(x.z) * 2.V(x.z)
(x+y)(y+z)(z+x) >= 8.xyz
***********
Attention dans ta réponse, de bu-ien utiliser les signes >= et pas >
Sauf distraction. 
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