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Niveau Préparation CRPE
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Ordre dans R

Posté par
bouchaib 29-12-25 à 12:34

Bonjour et très bonne année 2026 pour toutes et tous.

Exercice destiné aux élèves de la classe de seconde.

Soit \alpha un nombre réel strictement positif et soit x un élément de l'intervalle [1; 1+].

1.vérifier que : x+\sqrt x -2=(\sqrt x -1)(\sqrt x +2)

2. a. Montrer que : |\frac{1}{\sqrt x}-(1-\frac{1}{2}(x-1))|\leq \frac{3}{8}\alpha^2.

  b . En déduire une valeur approchée de    \frac{1}{\sqrt {1,0004} }

à la précision  6×10^-3 près.

Merci de m'aider pour la question 2.a

Pour 1 et 2 .b. Pas de soucis.

Remarque : ( c'est un exercice destiné aux élèves de la seconde. Le développement limitée n'est pas encore vu).

Merci encore.

Posté par
Kohlere : Ordre dans R 29-12-25 à 15:26

Bonjour,
Si tu arranges ton expression dans la valeur absolue, tu obtiens :

\dfrac{|x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+2|}{2\sqrt{x}}

que tu peux ensuite factoriser à l'aide de 1 en :

\dfrac{(\sqrt{x}-1)^2(\sqrt{x}+2)}{2\sqrt{x}}

Posté par
Kohlere : Ordre dans R 29-12-25 à 16:48

Il me semble que l'approximation obtenue en 2)b) est bien meilleure que 6\times 10^{-3} : plutôt 6\times 10^{-{\red 8}}

Posté par
bouchaibre : Ordre dans R 29-12-25 à 17:40

Merci beaucoup.

Posté par
carpediemre : Ordre dans R 29-12-25 à 17:53

salut

Kohle @ 29-12-2025 à 15:26

Bonjour,
Si tu arranges ton expression dans la valeur absolue, tu obtiens :     \dfrac{|x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+2|}{2\sqrt{x}}

que tu peux ensuite factoriser à l'aide de 1 en :    \dfrac{(\sqrt{x}-1)^2(\sqrt{x}+2)}{2\sqrt{x}}
ce n'est pas si "évident" que ça !!


par contre : je le verrai "plus naturellement" ainsi :

\dfrac 1 {\sqrt x} - \left( 1 - \dfrac 1 2 (x-1) \right) = \dfrac 1 {\sqrt x} (1 - \sqrt x) + \dfrac 1 2 (\sqrt x - 1) (\sqrt x + 1) = (\sqrt x - 1) \left[ \dfrac 1 2 (\sqrt x + 1) - \dfrac 1 {\sqrt x} \right]

on reconnait 1/ en réduisant le crochet ...

Posté par
Kohlere : Ordre dans R 29-12-25 à 17:56

De rien bouchaib.
J'imagine que tu as fait ensuite les majorations nécessaires (à un niveau élémentaire) compte tenu que 1\leq x\leq 1+\alpha

Posté par
carpediemre : Ordre dans R 29-12-25 à 17:58

et remarquer que y = 1 - (1/2)(x - 1) est l'équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction x --> 1/x au point d'abscisse 1 ...

Posté par
bouchaibre : Ordre dans R 30-12-25 à 01:16

Il m'est impossible de le résoudre sans développement limité et pour des élèves de la classe de seconde .
Merci  pour le rendre accessible par  une méthode simple pour les élèves  qui viennent d'arriver au lycée .
Toujours  bloqué à la question 2.b.
Merci encore.

Posté par
thetapinch27re : Ordre dans R 30-12-25 à 08:33

Bonjour,

Avec l'expression donnée par Kohle, tu n'as pas besoin de développement limité.
Tu peux multiplier numérateur et dénominateur par (√x + 1)² et majorer "classiquement".

Posté par
Kohlere : Ordre dans R 30-12-25 à 09:28

Bonjour,
Oui, mais il reste que tout ça me semble bien difficile pour un élève qui sort du collège ...

Posté par
malou Webmasterre : Ordre dans R 30-12-25 à 11:23

Bonjour

A mon avis, on n'est pas sur un programme français

Posté par
Kohlere : Ordre dans R 30-12-25 à 11:47

Bonjour malou,
Quand bien même, je trouve que ça reste difficile
Tant qu'à faire, voici une alternative à la majoration proposée par thetapinch27 (qui marche très bien) :

1\leq x\leq 1+\alpha

0\leq \sqrt{x}-1\leq\sqrt{1+\alpha}-1

0\leq \sqrt{x}-1\leq\dfrac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha}+1}\leq \dfrac{\alpha}{2}
Si bien que (\sqrt{x}-1)^2\leq\dfrac{\alpha^2}{4}
Et il n'est pas difficile de montrer que \dfrac{\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}\leq\dfrac{3}{2}

Posté par
malou Webmasterre : Ordre dans R 30-12-25 à 17:16

Je suis d'accord...mais quand en terminale certains sont à un niveau quasi n+2 de chez nous, il y a bien des moments où ils doivent mettre les bouchées doubles....

Posté par
bouchaibre : Ordre dans R 31-12-25 à 22:48

Merci professeure.
C'était un exercice proposé aux élèves de la classe de  seconde publié sur le Web par un professeur marocain pour ce niveau.
Merci encore.
Et très bonne année 2026 à toutes et à tous.

Posté par
bouchaibre : Ordre dans R 31-12-25 à 22:54

Merci beaucoup à Monsieur  Kohle.
C'est très bien compris.
Des subtilités qu'il me faut chercher dans mes acquis antérieurs .
Les maths !

Posté par
malou Webmasterre : Ordre dans R 01-01-26 à 09:37

bouchaib @ 31-12-2025 à 22:48

Merci professeure.
C'était un exercice proposé aux élèves de la classe de seconde publié sur le Web par un professeur marocain pour ce niveau.
Merci encore.
Et très bonne année 2026 à toutes et à tous.


Bonne année à toi aussi bouchaib


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