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Niveau Licence Maths 1e ann
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Ordre et lancer d'une monnaie

Posté par
Aymanoo
25-04-22 à 08:19

Bonjour,
Dans un lancer un certain nombre de fois d'une fois d'une pièce de monnaie, pourquoi on a l'ordre est important ?
Il y'a deux jours que je réfléchis pour avoir une réponse à cette question, besoin d'aide s'il vous plaît.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Ordre et lancer d'une monnaie 25-04-22 à 08:25

Bonjour,
Difficile de répondre sans un contexte plus précis
Dans quelle situation te poses-tu cette question ?

Posté par
Aymanoo
re : Ordre et lancer d'une monnaie 25-04-22 à 08:54

Par exemple : j'ai dans un petit exercice on lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibré, quelle est la probabilité d'obtenir 2 fois pile ?
Donc si on considère l'événement A  "obtenir 2 fois pile " ,est ce que l'ordre est important ?
D'une autre façon, faut-t-il choisir A= {PPF,FPP,PFP} (oùl'ordre est important) ou { PPF} ( où l'ordre n'est pas important, donc une est suffisante ) ?
J'ai essayé d'expliquer ce que j'avais pas compris le maximum possible.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Ordre et lancer d'une monnaie 25-04-22 à 09:34

Je pense que tu mets le doigt sur un problème qui a provoqué quelques remous à l'époque de Pascal.
Je vais essayer de trouver des références exploitables pour toi.
Je n'ai pas le temps maintenant ; patiente un peu.
A moins qu'un autre intervenant réponde avant mon retour.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Ordre et lancer d'une monnaie 25-04-22 à 09:37

Je poste quand même la question qui a agité les "chercheurs" de l'époque :
"Avec trois dés, pourquoi un total de 10 est-il plus fréquent qu'un total de 9 ?"

Galilée répondit: Il y a 27 façons de faire 10 et seulement 25 pour 9.

Posté par
ty59847
re : Ordre et lancer d'une monnaie 25-04-22 à 10:05

Je pense que des documents 'faits sur mesure' seront mieux qu'un vague indice. Mais allons-y quand même.
Plutôt que lancer une pièce 3 fois de suite, tu peux reformuler le problème : on a 3 pièces (une bleue, une blanche et une rouge) ; on lance ces 3 pièces, quelle est la probabilité d'avoir 2 fois Pile.

A partir d'une question, chercher d'autres 'exercices' équivalents, ou chercher d'autres exercices un petit peu différents, ça aide très souvent à comprendre quels calculs on doit faire.

Posté par
GBZM
re : Ordre et lancer d'une monnaie 25-04-22 à 10:48

Bonjour,

Le problème est dans la définition de l'univers que l'on considère. Dans le cas de trois lancers à pile ou face, on peut considérer les issues dans l'ordre (8 issues possibles) ou les issues sans ordre (4 issues possibles).
On préfère le premier choix parce que, dans l'hypothèse standard de pièce équilibrée et d'indépendance entre les lancers, les 8 issues sont équiprobables. Par contre, dans le deuxième choix, les 4 issues ne sont pas équiprobables.
Pour les calculs de probabilité, on a intérêt à avoir l'équiprobabilité des issues : le calcul de la probabilité d'un évènement se ramène alors à un simple dénombrement des issues favorables. C'est ainsi qu'on peut voir que l'issue "2 piles, 1 face" est de probabilité 3/8 parce qu'elle correspond à 3 des 8 issues dans l'univers des tirages avec ordre où les 8 issues sont équiprobables.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Ordre et lancer d'une monnaie 25-04-22 à 12:22

Je reviens prolonger mon message de 9h37.
Il s'agit du "Problème du grand duc de Toscane".
Un moteur de recherche avec "Problème du grand duc de Toscane" donne pas mal de résultats.

Par exemple :
Les arbres à la fin sont clairs.

Il est intéressant de noter que c'est l'expérimentation-observation qui a amené à rectifier un raisonnement, pour ne pas dire améliorer une théorie.

Posté par
GBZM
re : Ordre et lancer d'une monnaie 25-04-22 à 14:07

Là aussi, pour la somme des trois dés, on retrouve la problématique de l'équiprobabilité.
Où bien des issues équiprobables, où on tient compte de l'ordre (ou de la couleur des dés supposés de couleurs différentes, ou ...) : 6^3 = 216 issues dont 25 favorables au 9 et 27 favorables au 10
Ou bien des issues où on ne discerne pas entre les dés : \binom{8}{3} = 56 issues dont 6 favorables au 9 et 6 au 10 ; mais elles ne sont pas équiprobables !

Posté par
co11
re : Ordre et lancer d'une monnaie 26-04-22 à 19:20

Bonsoir,

je vais comparer avec un tirage de 3 cartes parmi 32 (mettons)

je pense que le lancer de pièce 3 fois de suite  posé par Aymanoo peut s'assimiler à 3 tirages successifs  avec remise d'une carte parmi 32. Et on s'intéresse à l'événement : obtenir 2 fois pile ou bien obtenir 2 fois une carte rouge. Là, comme le dit GBZM, si on ne veut pas tenir compte de l'ordre, les issues ne sont pas équiprobables. Mais comment les détermine-t-on si ce n'est en passant justement par l'intermédiaire d'une situation d'équiprobabilité ?

à comparer avec :

un tirage simultané de 3 cartes parmi 32 ou 3 tirages successifs et sans remise d'une carte parmi 32. Là, on est en situation d'équi probabilité dans les 2 cas. Et la proba d'obtenir 2 cartes rouges est la même.

Mais je n'arrive pas à expliquer la différence. L'un de vous le pourra j'imagine.

Posté par
ty59847
re : Ordre et lancer d'une monnaie 26-04-22 à 19:58

Tirage simultané de 3 cartes parmi 32,  ou 3 tirages successifs et sans remise d'une carte parmi 32.

La question qu'il faut toujours se poser, c'est de définir l'univers, sans la moindre ambiguïté.
Souvent, on a 2 options pour définir l'univers, et les 2 options sont aussi bonnes l'une que l'autre, du moment qu'on reste sur la même convention du début à la fin de l'exercice.

Tirage simultané de 3 cartes.
Je tire les 3 cartes simultanément, puis je les pose sur la table. Cote à cote, face visible. Il y a la carte posée à gauche, la carte posée au milieu, et la carte posée à droite. La Première, la 2ème et la 3ème.

Si je présente mon expérience comme ça, je suis fidèle à l'expérience, et j'introduis une notion d'ordre. Le tirage ABC et le tirage CBA sont différents. J'ai 32*31*30 tirages possibles. Et si je fais tous mes calculs en considérant bien cet univers, j'aurai des résultats corrects.

Je peux aussi dire :
On tire 3 cartes, on les regarde, mais en considérant que l'ordre n'a aucune importance. ABC ou CBA, c'est pareil. On a alors 32*31*30/6 tirages possibles.

Je tire successivement 3 cartes.
C'est la même chose. Je peux  considérer que A puis B puis C, ce n'est pas la même chose que C puis B puis A. Et mon univers contient donc 32*31*30 tirages possibles.
Ou je peux considérer qu'on a 32*31*30/6 tirages possibles.

Tout est bon, du moment qu'on utilise les mêmes conventions d'un bout à l'autre de l'exercice.

Posté par
co11
re : Ordre et lancer d'une monnaie 26-04-22 à 20:15

Oui bien sûr, mais comment expliquer la différence avec le problème posé par Aymanoo ?

Posté par
GBZM
re : Ordre et lancer d'une monnaie 26-04-22 à 23:17

Si on considère comme issue le nombre de rouges dans les trois cartes tirées, il n'y a que 4 issues possibles ... et qui ne sont pas équiprobables.

Posté par
ty59847
re : Ordre et lancer d'une monnaie 26-04-22 à 23:25

Dans le cas des tirages de 3 cartes parmi 32, tous les tirages sont équiprobables.
Modifions un peu cet exemple.
J'ai en fait 3 jeux de 32 cartes, et je tire une carte dans chaque jeu.
Du coup, je peux tirer 3 fois la même carte.
Et ça change tout.
Le tirage où je tire 3 fois l'as de pique est possible, mais il tient de l'exploit.
Le tirage où je tire as,2 et 3 de pique est plus fréquent. On peut tirer As ou 2 ou 3 de pique dans le 1er jeu,  pareil dans le 2ème jeu et pareil dans le 3ème jeu (presque )
Le tirage As 2 et 3 de pique est 6 fois plus fréquent que le tirage As as et as de pique.

Dans ce nouveau jeu, on se retrouve dans la configuration des 3 pièces lancées à pile ou Face.

Posté par
Aymanoo
re : Ordre et lancer d'une monnaie 27-04-22 à 03:12

GBZM @ 25-04-2022 à 10:48

Bonjour,

Le problème est dans la définition de l'univers que l'on considère. Dans le cas de trois lancers à pile ou face, on peut considérer les issues dans l'ordre (8 issues possibles) ou les issues sans ordre (4 issues possibles).
On préfère le premier choix parce que, dans l'hypothèse standard de pièce équilibrée et d'indépendance entre les lancers, les 8 issues sont équiprobables. Par contre, dans le deuxième choix, les 4 issues ne sont pas équiprobables.
Pour les calculs de probabilité, on a intérêt à avoir l'équiprobabilité des issues : le calcul de la probabilité d'un évènement se ramène alors à un simple dénombrement des issues favorables. C'est ainsi qu'on peut voir que l'issue "2 piles, 1 face" est de probabilité 3/8 parce qu'elle correspond à 3 des 8 issues dans l'univers des tirages avec ordre où les 8 issues sont équiprobables.

Bonjour GBZM, pouvez vous me dire pourquoi on a pas une équiprobabilité dans le deuxième cas ?

Posté par
GBZM
re : Ordre et lancer d'une monnaie 27-04-22 à 07:17

Parce qu'on fait l'hypothèse que la pièce est équilibrée et que les lancers sont indépendants, ce qui revient à dire que les huit issues dans le premier univers sont équiprobables. Ceci entraîne que les quatre issues dans le second univers ne le sont pas : l'issue "3 piles" correspond à une issue du premier univers et l'issue "2 piles, 1 face" à trois.

Posté par
co11
re : Ordre et lancer d'une monnaie 27-04-22 à 19:23

Citation :
Si on considère comme issue le nombre de rouges dans les trois cartes tirées, il n'y a que 4 issues possibles ... et qui ne sont pas équiprobables.

Oui effectivement.

Finalement tout dépend de ce qu'on retient comme issues, le plus simple étant souvent de passer par une situation d'équiprobabilité.

Je trouve la question de Aymanoo vraiment intéressante.



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