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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Ordre et théorème de Lagrange

Posté par
maxxiiime
04-10-21 à 15:34

Bonjour !
Je bloque un peu dans cet exercice :
Soit G un groupe de cardinal fini, on note e son élément neutre et soit xG.
Montrez que les énoncés suivants sont vrais.
1) L'ordre o(x) de x est fini.
2) Les éléments e, x, x2,…,xo(n)-1 sont distincts et sont exactement les éléments de <x>
3) o(x)= |<x>|         Où |.| est le cardinal.
4) o(x)  divise l'ordre de G.
5) x|G|=e
6) si k vérifie xk=e, alors k est multiple de o(x).
7) /o(x) est isomorphe à <x>
8) on verra après, c'est plus dur.

———————-
Pour la 1) il faut montrer que il existe i tel que xi=e. Ainsi, si x=e  on a i=1 et sinon je ne sais pas comment faire….
Et pour les autres questions c'est un peu la même chose, je ne vois pas trop. Je suis ouvert pour des pistes et pas forcément des réponses immédiates.
Merci à vous d'avance.

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 04-10-21 à 15:36

C'est bien sûr xo(x)-1 dans 2) et si k vérifie…. dans 6)

Posté par
Camélia Correcteur
re : Ordre et théorème de Lagrange 04-10-21 à 16:03

Bonjour

1) Si x\neq e ,commence par montrer qu'il existe des entiers distincts m et n tels que x^m=x^n.

2) Arrivé ici, tu sais que x est d'ordre fini. Ce qu'on te demande est la conséquence directe de la définition de l'ordre.

3) Presque immédiat

4) Fabrique une partition de G en classes déduites de <x>.

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 13:47

Bonjour
1) je suppose donc que xe.
Soit n un entier. Je veux montrer que il existe m tel que xm=xm.
xn=xne=xnxo(x) = xn+o(x) et donc si o(x) est fini, on peut prendre m=n+o(x).
Je ne vois pas bien ce que je fais ici…

2) x est donc d'ordre fini. Pour xe :  xo(x)=e et o(x) est le plus petit entier qui vérifie cette propriété.
Donc pour tout 0<i<o(x)-1 xie et on a forcément xixxi donc par “recurrence” c'est bon

3) o(x) est le plus petit entier i tel que xi = 1
<x>={e,x,x2,…,xo(x)-1} car tout c'est elements sont distincts, et on a que xo(x)-1xi pour i[0,o(x)-1] = xj pour j [0,o(x)-1], donc <x> ne peut pas contenir plus d'élément. Il y a donc exactement o(x) éléments dans <x> CQFD.

Pour l'instant ça donne quoi ?

Merci

Posté par
carpediem
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 13:50

salut

1/ raisonne par l'absurde ...

2/ raisonne par l'absurde ...

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 13:58

Bonjour !!
Je dois comprendre que c'est faux ?

1) je suppose que o(x) est infini, ie : i, xie
x1 ; x2e ; ….. ; ie ; ……
Donc pour tout i, xi est un « nouvel élément de G qui a donc un cardinal infini. Donc G est un groupe non fini. Absurde ! C'est juste ?

Merci

Posté par
carpediem
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 16:05

oui ... (même si mal rédigé ... dans une certaine mesure)

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 16:09

1) je suppose o(x)=.
Ainsi, x1 G, x2G, et on a que (i,j), xi=xj i=j.
Donc (xi)i est une famille d'éléments de G distincts. Donc |G|= ce qui est absurde.

C'est mieux ?

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 16:10

x2G bien sûr…..

Posté par
Camélia Correcteur
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 16:29

Oui, ça va pour le début.
Pour 4) je t'ai donné l'indication.

Posté par
bernardo314
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 19:06

disons qu'il faudrait détailler ton implication  xi= xj  entraîne  i = j

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 21:01

bernardo314 @ 05-10-2021 à 19:06

disons qu'il faudrait détailler ton implication  xi= xj  entraîne  i = j
je ne vois pas trop comment détailler cela….
Camélia @ 05-10-2021 à 16:29

Oui, ça va pour le début.
Pour 4) je t'ai donné l'indication.

Je ne comprends pas vraiment l'indication… comment décomposer <x> = {xi}={e,x,x2,…,xo(x)-1} ? Enfin quel doit être la partition faite, et pourquoi ?

Posté par
bernardo314
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 21:07

eh bien dans un groupe tout élément à un inverse

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 21:17

Et donc ?
xi=xj
?
Je suis un peu perdu

Posté par
carpediem
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 21:55

supposons m > n : x^m = x^n \iff x^{m - n} = e

pour 1/ : considérons l'application : \N \to G
 \\ n \mapsto x^n

si elle est injective alors ...

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 22:00

Si elle est injective cela veut dire que deux éléments distincts de l'ensemble de départ (donc n et m par exemple) ne peuvent pas avoir la même image par la fonction en question

Posté par
bernardo314
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 22:33

voilà   carpediem t'a donné la solution : on multiplie "  par l'inverse de  xn

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 22:38

Vous allez peut être un peu vite pour moi, je ne comprends pas les tenants et les aboutissants du raisonnement.
Si on considère nxn, pourquoi parler de son injectivité ? Et quel est le lien avec x-n l'inverse de xn ?

Posté par
bernardo314
re : Ordre et théorème de Lagrange 05-10-21 à 22:44

je répondais à la question que tu posais à   21h55  pas à l'injectivité

Posté par
Camélia Correcteur
re : Ordre et théorème de Lagrange 06-10-21 à 14:33

Je ne sais plus trop où tu en es.
Pour 4). Soit H=<x>. Il est d'ordre o(x) que je vais noter q. Montre que les ensembles
aH=\{ah|h\in H\} forment une partition de G ayant chacun q éléments.

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 10-10-21 à 18:35

Bonjour.
G un groupe fini

1) on suppose o(x)= oo
Nécessairement : x≠e.
De plus, G est un groupe et cG donc (xi)i est une famille d'éléments de G.
Montrons que ces éléments sont tous distincts : soit xi=xj, alors xi-j=x0 d'où i=j ce qui signifie que (xi) est une famille de cardinal infini. Or cette famille est constituée d'éléments de G, qui aurait alors un cardinal infini ce qui est absurde car G est fini. Donc o(x) ≠oo ie o(x)<oo.

2) Par le même raisonnement : soit i,j [0,o(x)-1] tel que xi=xj alors i=j. Donc la famille a ses éléments distincts. Ils sont tous dans <x> par définition de <x> et il n'y en a pas d'autre car pour tout n0, xnxo(x)-1 est déjà dans la liste {e,x,…xo(x)-1 on le montre par récurrence.

3) Par 2) c'est immédiat.

4)

Camélia @ 06-10-2021 à 14:33

Je ne sais plus trop où tu en es.
Pour 4). Soit H=<x>. Il est d'ordre o(x) que je vais noter q. Montre que les ensembles
aH=\{ah|h\in H\} forment une partition de G ayant chacun q éléments.


Soit gG. On pose <x>=H.
gH={gh | hH} = {g,gx,…,gxo(x)-1}.
|gH|=o(x):=q

De plus soit g,g' G alors, gHg'H = ? Comment le montrer ? Et que l'union vaut G ?
Merci

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 10-10-21 à 18:56

Pour 4) peut on simplement dire :

On a par 3) que o(x)=|<x>|.  
Or H:= <x> est un sous groupe de G.
Donc par le théorème de Largrange :
|G|=|G\H|*|H| Ce qui montre que |H| divise |G| et donc que o(x) divise |G|

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 10-10-21 à 19:00

Pour 6)

On a avec les mêmes notations : |G|=|G/H|.|H|

Donc

x|G|= x|G/H|.|H| = (x|H|)|G/H|

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 10-10-21 à 19:01

=(xo(x))q avec q = e

(Désolé j'ai appuyé sur POSTER au lieu de APERÇU)

Posté par
maxxiiime
re : Ordre et théorème de Lagrange 10-10-21 à 19:16

Pour le 6)
Je vais montrer la contraposée :
On suppose que k n'est pas un multiple de o(x). Alors il existe r[1,o(x)-1] et p tel que k = p.o(x)+r
Alors xk=xp.o(x).xr = xr e.

Donc par contraposition on obtient le résultat



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