Bonjour !
Je bloque un peu dans cet exercice :
Soit G un groupe de cardinal fini, on note e son élément neutre et soit xG.
Montrez que les énoncés suivants sont vrais.
1) L'ordre o(x) de x est fini.
2) Les éléments e, x, x2,…,xo(n)-1 sont distincts et sont exactement les éléments de <x>
3) o(x)= |<x>| Où |.| est le cardinal.
4) o(x) divise l'ordre de G.
5) x|G|=e
6) si k vérifie xk=e, alors k est multiple de o(x).
7) /o(x) est isomorphe à <x>
8) on verra après, c'est plus dur.
———————-
Pour la 1) il faut montrer que il existe i tel que xi=e. Ainsi, si x=e on a i=1 et sinon je ne sais pas comment faire….
Et pour les autres questions c'est un peu la même chose, je ne vois pas trop. Je suis ouvert pour des pistes et pas forcément des réponses immédiates.
Merci à vous d'avance.
Bonjour
1) Si ,commence par montrer qu'il existe des entiers distincts et tels que .
2) Arrivé ici, tu sais que est d'ordre fini. Ce qu'on te demande est la conséquence directe de la définition de l'ordre.
3) Presque immédiat
4) Fabrique une partition de G en classes déduites de .
Bonjour
1) je suppose donc que xe.
Soit n un entier. Je veux montrer que il existe m tel que xm=xm.
xn=xne=xnxo(x) = xn+o(x) et donc si o(x) est fini, on peut prendre m=n+o(x).
Je ne vois pas bien ce que je fais ici…
2) x est donc d'ordre fini. Pour xe : xo(x)=e et o(x) est le plus petit entier qui vérifie cette propriété.
Donc pour tout 0<i<o(x)-1 xie et on a forcément xixxi donc par “recurrence” c'est bon
3) o(x) est le plus petit entier i tel que xi = 1
<x>={e,x,x2,…,xo(x)-1} car tout c'est elements sont distincts, et on a que xo(x)-1xi pour i[0,o(x)-1] = xj pour j [0,o(x)-1], donc <x> ne peut pas contenir plus d'élément. Il y a donc exactement o(x) éléments dans <x> CQFD.
Pour l'instant ça donne quoi ?
Merci
Bonjour !!
Je dois comprendre que c'est faux ?
1) je suppose que o(x) est infini, ie : i, xie
x1 ; x2e ; ….. ; ie ; ……
Donc pour tout i, xi est un « nouvel élément de G qui a donc un cardinal infini. Donc G est un groupe non fini. Absurde ! C'est juste ?
Merci
1) je suppose o(x)=.
Ainsi, x1 G, x2G, et on a que (i,j), xi=xj i=j.
Donc (xi)i est une famille d'éléments de G distincts. Donc |G|= ce qui est absurde.
C'est mieux ?
Si elle est injective cela veut dire que deux éléments distincts de l'ensemble de départ (donc n et m par exemple) ne peuvent pas avoir la même image par la fonction en question
Vous allez peut être un peu vite pour moi, je ne comprends pas les tenants et les aboutissants du raisonnement.
Si on considère nxn, pourquoi parler de son injectivité ? Et quel est le lien avec x-n l'inverse de xn ?
Je ne sais plus trop où tu en es.
Pour 4). Soit . Il est d'ordre que je vais noter . Montre que les ensembles
forment une partition de ayant chacun éléments.
Bonjour.
G un groupe fini
1) on suppose o(x)= oo
Nécessairement : x≠e.
De plus, G est un groupe et cG donc (xi)i est une famille d'éléments de G.
Montrons que ces éléments sont tous distincts : soit xi=xj, alors xi-j=x0 d'où i=j ce qui signifie que (xi) est une famille de cardinal infini. Or cette famille est constituée d'éléments de G, qui aurait alors un cardinal infini ce qui est absurde car G est fini. Donc o(x) ≠oo ie o(x)<oo.
2) Par le même raisonnement : soit i,j [0,o(x)-1] tel que xi=xj alors i=j. Donc la famille a ses éléments distincts. Ils sont tous dans <x> par définition de <x> et il n'y en a pas d'autre car pour tout n0, xnxo(x)-1 est déjà dans la liste {e,x,…xo(x)-1 on le montre par récurrence.
3) Par 2) c'est immédiat.
4)
Pour 4) peut on simplement dire :
On a par 3) que o(x)=|<x>|.
Or H:= <x> est un sous groupe de G.
Donc par le théorème de Largrange :
|G|=|G\H|*|H| Ce qui montre que |H| divise |G| et donc que o(x) divise |G|
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