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Ordre total et partiel

Posté par Profil Ramanujan 15-07-18 à 21:51

Bonsoir, j'ai pas compris ce graphe ni la phrase :

On ne peux pas comparer les singletons comme le montre l'illustration ci-dessous :

Ordre total et partiel

Posté par
SkyMtn
re : Ordre total et partiel 15-07-18 à 21:58

Salut. Et alors ? C'est un ordre partiel, tout n'est pas forcément comparable

Posté par
lafol Moderateur
re : Ordre total et partiel 15-07-18 à 22:03

Bonjour
chaque flèche signifie "est inclus dans"
et le texte précise que les inclusions d'une partie dans elle-même n'ont pas été représentées

Posté par
lafol Moderateur
re : Ordre total et partiel 15-07-18 à 22:04

la phrase sur les singletons souligne le fait qu'il n'y a pas de flèche, ni dans un sens ni dans l'autre, entre les deux singletons
mais peut-être est-ce le mot "singleton" qui t'arrête ?

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 15-07-18 à 23:14

Ah d'accord je vois donc en gros le graph signifie que :

\emptyset  \subset \{a\} car l'ensemble vide est une partie de tout ensemble.

\emptyset  \subset \{b\}

\{a\} \subset \{a,b\} et \{b\} \subset \{a,b\}

Posté par
lafol Moderateur
re : Ordre total et partiel 15-07-18 à 23:20

il ne le signifie pas, il l'illustre

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 15-07-18 à 23:21

Ah pourquoi l'inclusion d'ensemble sur l'ensemble des parties de A P(A) est un ordre partiel et pas total ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Ordre total et partiel 15-07-18 à 23:32

parce que par exemple on ne peut pas comparer {a} et {b}
c'est justement ce qui est écrit ....

Citation :
On ne peuxt pas comparer les singletons comme le montre l'illustration ci-dessous :

Posté par
lafol Moderateur
re : Ordre total et partiel 15-07-18 à 23:34

quand un ordre est total on a un seul axe, sur ce type de représentation

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 00:13

D'accord !

Une petite question :
La divisibilité / sur \N n'est pas totale : 2 et 3 sont incomparables pour cette relation.
J'ai pas compris pourquoi 2 et 3 sont incomparables.

"être enfant de" sur l'ensemble des individus frères et sœurs ne sont pas comparables.
Pas compris non plus.

Posté par
lafol Moderateur
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 01:11

m'enfin ? faut vraiment tout te dire ! 2 divise-t-il 3 ? 3 divise-t-il 2 ? conclusion ?
peut-on être le fils/la fille de son frère /sa sœur ? conclusion ?

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 01:55

Ah c'est bon j'ai capté !

Dernière question sur les relations d'ordre. Y a un détail qui me perturbe dans le raisonnement suivant.
Soit \leq une relation d'ordre total sur \C. Donc deux éléments sont toujours comparables.  Ainsi le nombre i est soit positif, soit négatif.
Si i est positif, alors en multipliant par par i qui est positif, alors obtient : 0 \leq -1
Pourquoi on précise que i est positif ?  On utilise les propriétés des inégalitéscomme dans R ? Pourtant on a juste dit que c'est une relation d'ordre total...
Mais en multipliant encore par -1 qui est positif,  on obtient 0 \leq 1 donc 1 est positif.
Si on ajoute -1, on obtient : -1 \leq 0 donc -1 est négatif d'où une contradiction.

Bah pourquoi forcément une contradiction ?  -1 ne peut pas valoir 0 ?

Posté par
SkyMtn
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 08:01

Cela montre qu'il n'y a pas d'ordre total compatible avec la multiplication dans \C...

Posté par
lafol Moderateur
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 09:45

Tu n'as pas lu toutes les conditions.... Il y a des ordres totaux dans C, par exemple l'ordre lexicographique.
La démonstration que tu cites de façon très tronquée est celle qui prouve qu'aucun ordre total sur C ne peut être compatible avec la multiplication
Ce que tu appelles "les mêmes règles que dans IR" ce sont justement les règles traduisant cette compatibilité
Et rassure moi, tu sais que -1 n'est pas nul, n'est-ce-pas ?

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 14:28

Je corrige les notations.

Soit \preccurlyeq une relation d'ordre total sur \C. Donc deux éléments sont toujours comparables.  Ainsi le nombre i est soit positif, soit négatif.
Si i est positif, alors en multipliant par par i qui est positif, alors obtient : 0 \preccurlyeq -1

Ici j'ai toujours pas compris : on a le droit de multiplier par un nombre positif sans changer le signe de la relation d'ordre totale ?

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 14:31

On utilise par l'absurde que la relation d'ordre \preccurlyeq est stable par la multiplication par un réel positif comme avec \leq dans \R ?

Posté par
jsvdb
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 16:14

Bonjour Ramanujan.

Ramanujan @ 16-07-2018 à 14:28

j'ai toujours pas compris : on a le droit de multiplier par un nombre positif sans changer le signe de la relation d'ordre totale ?

Un ordre, qu'il soit total ou non, est un ordre.
Et pour être validement utilisé dans un corps, il doit être compatible avec la multiplication, c'est-à-dire vérifier que :

si a,b,c sont trois éléments avec c > 0 alors a \leq b \Rightarrow ac\leq bc

Application à \C : soit \preceq une relation d'ordre total sur \C qui soit compatible avec ses opérations de corps.

Si ta relation veut que l'on ait 0 \preccurlyeq -1, cela ne posera pas de soucis, il faut continuer la chaîne :

0 \preccurlyeq i \Rightarrow {\red 0 \preccurlyeq -1} \Rightarrow 0 \preccurlyeq -i \Rightarrow {\red 0 \preccurlyeq 1}

On voit alors que 1 et -1 sont tous les deux strictement positifs (sauf à admettre que 1 = 0, ce qui n'est pas possible dans \C qui est un corps).

Il vient donc : 0 \prec 1 +(-1) d'où 0\prec 0 ce qui est absurde.

Donc on reprend la chaîne avec i \prec 0 et on obtient :

i \prec 0 \Rightarrow {\red 0 \prec -1} \Rightarrow -i \prec 0 \Rightarrow {\red 0 \prec 1}

Et on tombe sur la même absurdité.

Conclusion : il n'existe pas d'ordre total sur \C, compatible avec les oprations de corps.

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 16:48

@jssvdb

J'ai tout compris jusqu'au moment où vous avez changé de relation d'ordre.  Je comprends pas pourquoi vous avez besoin de changer \preceq  en \prec
Jamais vu ça dans mon cours.

Posté par
jsvdb
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 16:55

Je n'ai pas changé de relation d'ordre. J'ai juste considéré l'ordre strict correspondant à \preceq :~x \prec y \Leftrightarrow ((x \preceq y) \textbf{ et } (x \neq y))

Posté par
jsvdb
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 16:57

On peut utiliser l'inégalité stricte car les nombres 0,1, -1, i et -i sont deux à deux différents.

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 16:59

J'ai fait ce raisonnement est-il correct ?

Soit  \preceq  une relation d'ordre total sur \C donc 2 éléments sont toujours comparables.  Ainsi le nombre i est soit positif soit négatif.
Si i est positif, alors en multipliant par l'inégalité 0  \preceq i par i qui est positif alors on obtient :  0 \preceq -1 donc -1 est positif.
Mais alors en multipliant encore l'inégalité  0 \preceq -1 par -1 qui est positif on obtient 0 \preceq 1  donc 1 est positif.
Si on rajoute -1 à cette dernière inégalité on obtient : -1 \preceq 0  donc -1 est négatif
D'où une contradiction.
-1 ne peut pas être égal à 0 car sinon (\C,+) n'est pas un corps !

Même raisonnement si i est négatif !

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 16:59

jsvdb @ 16-07-2018 à 16:55

Je n'ai pas changé de relation d'ordre. J'ai juste considéré l'ordre strict correspondant à \preceq :~x \prec y \Leftrightarrow ((x \preceq y) \textbf{ et } (x \neq y))


D'accord ça marche !

Posté par
jsvdb
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 17:02

Oui, ton raisonnement est correct.

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 18:30

Je bloque sur un nouvel exemple.
On se munit de la relation d'ordre de divisibilité \ sur un ensemble A.
Soit A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}

Je comprends pas le graphique ci-dessous :
Pourquoi on trace pas une flèche entre 1 et 4 :  1 divise 4 !
Pourquoi on trace pas une flèche entre 1 et 9 : 1 divise 9 !

Par ailleurs, en revenant à la définition, on voit que A n'admet pas de plus grand élément :
Le plus grand élément de A pour la relation \ est : \exists M \in A , \forall x \in A : x/M
ce qui est impossible.

Par contre je ne comprends pas la phrase suivante :
8 et 9 sont des éléments maximaux mais pas plus grands éléments de A.

Comment montrer que 8 et 9 sont maximaux ? Ils ne sont pas plus grands éléments car il n'y a pas de plus grand élément dans A pour la relation de divisibilité.

Ordre total et partiel

Posté par
lafol Moderateur
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 18:35

La transitivite d'un ordre fait qu'il est inutile de dessiner les flèches "résultantes"
1 divise 2,2 divise 4,la flèche passe de 1 à 4 via 2

Posté par
luzak
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 18:49

Quand cesseras-tu de te poser des questions sur des notions dont tu ne connais pas la définition ?
"élément maximal" ce n'est pas "plus grand élément" : sur ton dessin est maximal tout élément qui n'est pas origine d'une flèche.
Il n'y a pas que 8,9 vérifiant cette propriété.

Prends la définition d'un "élément maximal" et fais la réflexion nécessaire !

Posté par
jsvdb
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 19:00

Etre maximal dans un ensemble E muni d'une relation d'ordre c'est :
- être le plus grand élément d'une partie E' de E muni de la relation induite et totalement ordonnée par cette relation induite.
- n'avoir aucun majorant dans E (et donc à fortiori dans E')

Formellement, soit (E,\leq) un ensemble ordonné et M \in E.

M est dit maximal dans E si la relation M \leq x implique x = M

Dans ton exemple :
8 est le plus grand élément de la partie totalement ordonnée {1;2;4;8} : c'est un élément maximal.
9 est le plus grand élément de la partie totalement ordonnée {1;3;9} : c'est un élément maximal.
6 est le plus grand élément de la partie totalement ordonnée {1;3;6} : c'est un élément maximal.
   6 est aussi le plus grand élément de la partie totalement ordonnée {1;2;6}
7 est le plus grand élément de la partie totalement ordonné {1;7} : c'est un élément maximal.
5 est le plus grand élément de la partie totalement ordonné {1;5} : c'est un élément maximal.

Sur un diagramme de Hasse, un élément maximal est un élément "en bout de piste".

Le plus grand élément est un élément maximal particulier : tout élément peut lui être relié. Par exemple on aurait pu dessiner l'élément 1890 et le relier à 5, 6, 7, 8 et 9.

Posté par
SkyMtn
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 19:03

Revois les définitions de :
1) plus grand élément
2) élément maximal

et essaies de comprendre pourquoi il n'y a pas de plus grand élément, et pourquoi 8 et 9  eux sont maximaux (comme 5 et 7 d'ailleurs)

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 22:46

luzak @ 16-07-2018 à 18:49

Quand cesseras-tu de te poser des questions sur des notions dont tu ne connais pas la définition ?
"élément maximal" ce n'est pas "plus grand élément" : sur ton dessin est maximal tout élément qui n'est pas origine d'une flèche.
Il n'y a pas que 8,9 vérifiant cette propriété.

Prends la définition d'un "élément maximal" et fais la réflexion nécessaire !


Oui mais je m'intéressais qu'aux nombres 8 et 9.
8 serait maximal si : \forall x \in A ,8 / x \Longrightarrow  x=8
Or 8 divise que lui-même donc 8 est maximal.
Même raisonnement pour 9.

C'est juste ?

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 22:50

@jsvdb
@Sky

Le plus grand élément de A pour la relation \ est : \exists M \in A , \forall x \in A : x/M

TOus les éléments de A ne divisent ni 1 ni 2 ni 3 ni 4 ni 5 ni 6 ni 7 ni 8 ni 9.

Donc A n'admet pas de plus grand élément et à fortiori 8 et 9 ne sont pas des plus grands éléments.

C'est correct ?

Posté par
jsvdb
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 22:52

Tout-à-fait, tu t'es inspiré de la définition que je t'ai donnée et l'as appliqué. Bien.
Tu peux, à titre d'exercice, faire le même raisonnement pour tous les autres nombres du diagramme et lister explicitement les éléments maximaux.

Posté par
jsvdb
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 22:58

Pour le plus grand élément M de A on le (oui ! il est unique) trouve si tous les éléments de A divise M. Il n'y en a effectivement pas.

Maintenant on peut remarquer que la relation de divisibilité est une sous-relation de la relation d'ordre classique dans le sens où x|y \Rightarrow x \leq y et comme il n'y a pas de plus grand élément au sens usuel, il ne peut y avoir de plus grand élément au sens de la divisibilité.

Inversement, il pourrait y avoir un plus grand élément au sens usuel sans qu'il le soit le plus grand au sens de la divisibilité. E.g. tu rajoutes 100 au diagramme.

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 23:10

jsvdb @ 16-07-2018 à 22:52

Tout-à-fait, tu t'es inspiré de la définition que je t'ai donnée et l'as appliqué. Bien.
Tu peux, à titre d'exercice, faire le même raisonnement pour tous les autres nombres du diagramme et lister explicitement les éléments maximaux.


J'ai la même définition dans mon cours mais j'avais pas compris, je pensais que c'était valable que pour le inférieur ou égal classique ! Je savais pas qu'on pouvais l'utiliser pour d'autres relations d'ordre

Donc les éléments maximaux sont :
1 n'est pas maximal car 1 divise 2
2 n'est pas maximal car 2 divise 4
3 n'est pas maximal car 3 divise 6
4 n'est pas maximal car 4 divise 8

Les éléments maximaux sont : 5,6,7,8.

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 23:14

jsvdb @ 16-07-2018 à 22:58

Pour le plus grand élément M de A on le (oui ! il est unique) trouve si tous les éléments de A divise M. Il n'y en a effectivement pas.

Maintenant on peut remarquer que la relation de divisibilité est une sous-relation de la relation d'ordre classique dans le sens où x|y \Rightarrow x \leq y et comme il n'y a pas de plus grand élément au sens usuel, il ne peut y avoir de plus grand élément au sens de la divisibilité.

Inversement, il pourrait y avoir un plus grand élément au sens usuel sans qu'il le soit le plus grand au sens de la divisibilité. E.g. tu rajoutes 100 au diagramme.


Pour la relation d'ordre \leq dans \R, je comprends pas.

A admet bien un plus grand élément non ? Tous les éléments de A sont plus petits que 8.

\exists M \in A, \forall x \in A : x \leq MM=8

Posté par
jsvdb
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 23:22

Oui, A admet bien un plus grand élément, et c'est 9. Mais c'est le plus grand élément au sens de la relation d'ordre usuelle : 1 \leq 2 \leq 3 \leq \cdots \leq 8 \leq \mathbf 9

Mais 9 n'est pas le plus grand élément de A au sens de la relation d'ordre générée par la divisibilité.

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 23:23

Je suis d'accord mais du coup je comprends pas votre passage :

"comme il n'y a pas de plus grand élément au sens usuel, il ne peut y avoir de plus grand élément au sens de la divisibilité. "

Posté par
jsvdb
re : Ordre total et partiel 16-07-18 à 23:37

oooops ... c'est pas "comme il n'y a pas ... " c'est "s'il n'y a pas ... " mais dans A ce n'est pas le cas (et donc ma remarque n'apporte rien)

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 16-07-18 à 23:58

Oki j'ai compris mais ça peut servir vous avez raison !

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 18-07-18 à 18:14

Soit A une partie de E.
Même si l'ordre \preccurlyeq est partiel, un majorant, lorsqu'il existe, est toujours comparable à tous les autres éléments de A.


Je comprends pas d'où ça sort.

J'ai la définition d'un majorant dans le cours :
A admet un majorant dans E si : \exists M \in E, \ \forall x \in A, x \preccurlyeq M

Posté par
verdurin
re : Ordre total et partiel 18-07-18 à 18:38

Bonsoir,
 \forall x \in A, x \preccurlyeq M
se traduit par : quelque soit x dans A, x est inférieur à M ce qui signifie que x et M sont comparables quelque soit x dans A.

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 18-07-18 à 18:46

Ah d'accord.
Mais du coup la relation d'ordre dans A est totale ?
Mais elle n'est pas forcément totale dans E ?

Posté par
SkyMtn
re : Ordre total et partiel 18-07-18 à 18:52

Non ! La relation est totale si tous les éléments sont comparables entre eux. Un majorant de A est comparable à tout élément de A, puisque tous les éléments de A sont plus petits que ce majorant (idem tout élément est comparable à un minorant si celui-ci existe).

Posté par
verdurin
re : Ordre total et partiel 18-07-18 à 19:00

Non.
La relation d'ordre dans A n'est pas forcément totale, mais tous les éléments de A sont comparables au majorant de A.

Par exemple on peut prendre pour A  les diviseurs de 6 et la relation x\preccurlyeq y\iff x\text{ divise }y.

Il est clair que ce n'est pas une relation d'ordre total car 2 et 3 ne sont pas comparables.
Mais 6 est un majorant, et il est ( ici par définition ) comparable à tous les éléments de A.

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 18-07-18 à 22:01

Ah du coup :

A=\{1,2,3,6\}

\exists M (M=6) \in E, \forall x \in A : x / M

Ici le majorant appartient à l'ensemble A, dans la définition il est dans E donc pas forcément dans A ?

Posté par
verdurin
re : Ordre total et partiel 18-07-18 à 22:14

Il n'est pas forcément dans A.
En reprenant le même exemple 6 est un majorant de {2 ; 3}

Posté par Profil Ramanujanre : Ordre total et partiel 18-07-18 à 22:21

Merci c'est beaucoup plus clair



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