bonjour,

f(x)=5/6[(2x+3)³/(2x+1)³]

1- Pour étudier fonction en +oo

a) Développe numérateur et dénominateur de telle sorte à obtenir une
fraction de polynômes de degrés 3.

Pour les développer, pense que :
(2x+3)³ = (2x+3)(2x+3)²
(2x+1)³ = (2x+1)(2x+1)²

b) factorise en "haut et en bas" par le monôme de plus haut degrés
(ici on factorisera par x³)
exemple :
ax³+bx²+cx+d =x³ (a+b/x+c/x²+d/x³ )

c) conclure
le résultat est f(x)-->5/6  pour x-->+oo


2)"Etudier les variations de f sur [0;+inf["

a) calcul de la dérivée :
Pour rappel :
(u/v)' = (u'v - uv')/v²
en outre
(uⁿ)'=nu'u^n-1  (pour u polynôme)

autrement dit pose :
u=(2x+3)³
v=(2x+1)³
u'=(2x+3)³ =3*2(2x+3)²
v'=(2x+1)³ =3*2(2x+1)²
enfin :
v²=((2x+1)³)² = (2x+1)⁶

b) Etude du signe de la dérivée sur son intervalle de définition
ici R+
Réponse f'(x) est négative qqsoit x de R+

c) en déduire variation de f  sur R+ :
d'où f décroissante sur R+

3)Demontrer que f est bornée sur [0;+inf[

a) Montrer que f(0)> lim (f(x)) pour x--> +oo
b) Conclure :

f(0)> lim (f(x)) pour x--> +oo
et
f strictement décroissante sur R+

DONC

f est bornée : minorée par 5/6

Voilà me dire si pb

à bientôt
de retour demain!

Guille64

Merci de ton aide
Cpd, j'ai encore quelques questions a te poser, car il me manque
des détails pour continuer!
.Pour étudier la limite de f en +inf, j'ai fais comme tu m'avais
dis
mais je bloque à partir de f(x)=5/6[(x"au cube"(8+36/x+54/x²+27/x"au
cube"))/(x"au cube"(8+12/x+6/x²+1/x"au cube"))], je ne vois
pas comment faire pour continuer et arriver à f(x)-->5/6 pour x-->+inf(serait-il
possible de détailler?)
.C'est pareil pour l'étude des variations de f sur [0;+inf[
j'avais déjà essayer de calculer la dérivée avec f'(x) mais je n'arrive
toujours pas à aller plus loin que
f'(x)=[(6(2x+3)²(2x+1)-6(2x+3)²)/(2x+1)"a la puissance 4"]
.Et pour finir, je ne comprends pas pourquoi ni comment montrer que f(0)>lim(f(x))
pour x-->+inf
lorsqu'il s'agit de démontrer que f est bornée sur [0;+inf[

Merci beaucoup
@+
   Orelle

1) f en +oo
tu as fait le plus dur!
f(x)=(5/6)* [(x³(8+36/x+54/x²+27/x³))/(x³(8+12/x+6/x²+1/x³))],

d'où on peut "éliminer x³" puisque tu l'as "en haut
et en bas de la fraction"!
f(x)=(5/6)* [(8+36/x+54/x²+27/x³)/(8+12/x+6/x²+1/x³)],

ensuite
Lim pour x-->+oo  de (8+36/x+54/x²+27/x³) =8
Lim pour x-->+oo  de (8+12/x+6/x²+1/x³)=8

donc lim [(8+36/x+54/x²+27/x³)/(8+12/x+6/x²+1/x³)]
= lim 8/8 =1

donc
lim f(x) =lim (5/6)* [(8+36/x+54/x²+27/x³)/(8+12/x+6/x²+1/x³)]
=lim (5/6) *(8/8) = 5/6
pour x-->+oo

a) calcul de la dérivée :
f'(x)= 5/6 * [(6(2x+3)²(2x+1)³) - (2x+3)³*6(2x+1)²)]/(2x+1)⁴

f'(x)= 5/6 * [(6(2x+3)²(2x+1)³)/(2x+1)⁴] - [(2x+3)³*6(2x+1)²)]/(2x+1)⁴]

autrement dit
pour rappel :
(2x+1)³/(2x+1)⁴ = (2x+1)/(2x+1)²
(2x+1)²/(2x+1)⁴ = 1/(2x+1)²
d'où

f'(x)= 5/6 * [(6(2x+3)²(2x+1))/(2x+1)²] - [(2x+3)³*6)]/(2x+1)²]
pour rappel :
(2x+3)³ = (2x+3)²(2x+3)
d'où on factorise chaque membre par (6(2x+3)²)

f'(x)= 5/6 * [6(2x+3)²((2x+1)-(2x+3)]/(2x+1)²
f'(x)= 5/6 * [6(2x+3)²(-2)]/(2x+1)²

Pas besoin d'aller plus loin... on voit bien que quelque soit x
de R+ f'(x)<0

d'où f(x) est décroissante sur R+

3)Demontrer que f est bornée sur [0;+inf[  

Démonter que f est bornée sur [0;+inf[ veut dire : montrer que f admet un
minimum et un maximum sur [0;+oo[

On vient de montrer que f est strictement décroissante sur R+.
Pour rappel f décroissante sur R+ signifie : quelque soit (a,b) de R+
tel que a<b, on a f(a)>f(b)

En résumé : f strictement décroissante sur R+ donc f admet un maximum
sur R+ pour x=0 en f(0) = 45/2
en outre on a montré que lim f(x) en +oo = 5/6 : donc f admet un minimum
en +oo

f est bornée sur R+, avec f appartient à I = [45/2 ; 5/6[

Je te proposais de montrer/vérifier que f(0)>lim f(x) pour x-->+oo pour
te convaincre des bornes de la fonction puisque on a par ailleurs
f décroissante sur R+

Voilà,
a reprendre à tête reposée...

à plus

Guille64

OOOPPSS : petite erreur que tu auras corrigé...

Le dénominateur de la dérivée n'est pas (2x+1)⁴ mais

(2x+1)⁶

ensuite : pour la simplification :
(2x+1)³)/(2x+1)⁶ = (2x+1)/(2x+1)⁴
(2x+1)²/(2x+1)⁶ = 1/(2x+1)⁴

Je te laisse faire les modif... Quoi qu'il en soit ça ne change
rien au résultat!