*** Bonjour, ***

Cela veut dire qu'on fait le choix d'une base de , que l'on déclare directe. Toutes les bases telles que le déterminant de la matrice de passage de à est positif seront aussi directes.


***Edit Sylvieg : la politesse n'est pas optionnelle, aidant comme aidé***

le choix de l'origine O du repère n'a donc rien à voir avec l'orientation du plan?

si la base est déclarée directe, on tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ou sens trigonométrique, c'est ça?

oui, c'est en général la convention chez nous ...

est-ce qu'on peut déclarer direct le sens des aiguilles d'une montre, de sorte que ?

si tu décide d'orienter le plan avec la base (i;j) orthonormée alors (i;j) vaut +pi/2

c'est un peu le principe de ce qu'on appelle "orienter le plan avec une base"

maintenant rien ne t'empêche de prendre (i;j) autrement que ce qu'on fait habituellement ! y'en a bien qui roulent à gauche

Sylvieg : désolé, mais ça m'arrivera sûrement encore d'oublier le "Bonjour" en répondant. J'interviens sur d'autres forum où ce n'est absolument pas l'habitude.
Pour moi, la politesse première est de répondre le plus précisément possible à la personne qui questionne (sans bien sûr faire les choses à sa place) ; c'est cela qu'elle vient chercher ici.
Ceci dit, j'essaierai.

sgu35 : "si la base est déclarée directe" : de quelle base parles-tu ?
On a des conventions habituelles pour le choix d'orientation dans le plan (choix de la base canonique ((1,0),(0,1), qui correspond au sens trigonométrique) ou dans l'espace (là aussi choix de la base canonique, qui correspond à la "règle du tire-bouchon").
Rien n'empêche de choisir l'autre orientation pour ces espaces. Pour chaque -espace vectoriel il y a deux orientations possibles. Pour le plan, on peut déclarer directe la base ((0,1), (1,0)) (sens des aiguilles d'une montre). D'ailleurs, dans les logiciels de traitement d'image, on travaille souvent dans une base qui n'est pas directe pour l'orientation "habituelle" : les x vers la droite, les y vers le bas.

merci, je parle d'une base () du plan ou de ou de .
Si on choisit et k tel que est-ce qu'un point M de coordonnées polaires dans la base directe va devenir le point ) dans ?

On est bien d'accord qu'on peut définir la base   définie ci-dessus comme étant directe?

Oui, poser une base comme directe veut dire orienter le plan, comme je l'ai dit plus haut.

Par ailleurs, si tu prends une base quelconque tu auras des soucis. matheuxmatou a bien mis en rouge "orthonormée" (en supposant qu'on a sur \ la structure euclidienne standard). Tu devrais faire l'effort de tenir compte de ce qu'on écrit.

ok merci!

j'en viens à la définition d'une base orthonormée : ça veut dire que , et   ou , est-ce exact?

Non. C'est (produit scalaire nul. Les angles, ça vient après.

mais si (produit scalaire nul), on a

Quand on donne la définition de base orthonormée, on ne fait appel qu'à la notion de structure euclidienne. La définition est donnée en terme du produit scalaire et de la norme euclidienne qui va avec.
Parler d'angle à ce niveau ne se justifie pas. En plus ici tu parles non seulement d'angle, mais de mesure d'angle qui demande toute une construction et des précisions ; angle géométrique ou angle orienté, s'il s'agit d'angle orienté il faut choisir une orientation du plan pour le mesurer, etc.

Parler d'angle droit pour définir une base orthonormée, ça peut très bien se concevoir dans le secondaire où on fait des dessins dans le plan, on mesure des angles avec un rapporteur etc., bref on s'appuie sur un support physique.

Mais maintenant tu es dans le supérieur. Tu dois prendre les choses par le bon bout, en partant de la notion d'espace vectoriel euclidien.