Niveau Licence-pas de math

Orthogonaliser des vecteurs

Posté par
Azer44170 04-06-22 à 11:41

Bonjour,
En théorie des groupes [en chimie, je ne suis pas mathématicien ]je souhaitais orthonormaliser des vecteurs. Dans mon exemple j'ai les vecteurs :
$\bold v_1 = 2\bold e_1+\bold e_2 +\bold e_3$ , $\bold v_2 = 2\bold e_1-\bold e_2 -\bold e_3$ et $\bold v_3 = -\bold e_1+2\bold e_2 -3\bold e_3$ .
Pour orthogonaliser les 2 premiers je fais :
$\bold u_1 = \bold v_1+\bold v_ 2= 4;0;0$ et $\bold u_2 = \bold v_1-\bold v_2=0;2;2$ qui sont bien orthogonaux.
J'orthogonalise : $\bold u_1$ et $\bold v_3$
$\bold w_1 = \bold u_1+\bold v_3=3;2;-3$ et
$\bold w_2 = \bold u_1-\bold v_3=5;-2;3$ qui sont bien orthogonaux.
Mais quand je veux orthogonaliser
$\bold w_1$ et $\bold u_2$ par exemple ça ne fonctionne pas :
$\bold z_1 = \bold w_1+\bold u_2=3;4;-1$ et $\bold z_2 = \bold w_1-\bold u_2=3;0;-5$ ne sont pas orthogonaux.
Je ne vois où, mathématiquement, est mon problème.
Aussi je me demandais à quoi cela servait puisque les vecteurs finaux sont différents des vecteurs initiaux, autant choisir directement quelque chose de simple comme : $\bold e_1;\bold e_2 ; \bold e_3$ .
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : Orthogonaliser des vecteurs 04-06-22 à 12:17

salut

ben parce que tu fais des choses indépendamment de ce qui précède ...

on garde v1 qu'on normalise w1 = v1/||v1||
puis à partir de w1 et v2 on construit un vecteur orthogonal à v1 (ou w1) : il suffit de prendre w2 = v2 - (v1|v2)w1 (produit scalaire) (vérifie que (w1|w2) = 0)
on le normalise ...

puis on construit w3 orthogonal à w1 et w2 ...

Posté par re : Orthogonaliser des vecteurs 04-06-22 à 12:36

Et si, par hasard, on m'avait demandé d'orthogonaliser $\bold w_1$ et $\bold u_2$ dans l'énoncé, pourquoi faire la somme et la différence ça ne fonctionne pas pour ces deux vecteurs-ci ?

Posté par re : Orthogonaliser des vecteurs 04-06-22 à 15:20

orthogonaliser deux vecteurs ne veut rien dire ....

tu as deux vecteurs et soit ils sont orthogonaux soit ils ne le sont pas ...

par contre à partir d'une base on peut construire une base orthogonale ...

donc si tu veux orthogonaliser la base (si tant est que ce soit une base) (w1, u2) tu procèdes comme je l'ai fait plus haut ...

Posté par re : Orthogonaliser des vecteurs 04-06-22 à 19:42

Bonjour
la somme et la différence de deux vecteurs ont pour produit scalaire (u+v).(u-v) = ||u||²-||v||² : ça ne donnera deux vecteurs orthogonaux QUE si les deux vecteurs de départ avaient la même norme

Posté par re : Orthogonaliser des vecteurs 04-06-22 à 19:45

(en géométrie de collège : les diagonales d'un parallélogramme ne se coupent à angle droit que lorsque ce parallélogramme est un losange)

Posté par re : Orthogonaliser des vecteurs 04-06-22 à 20:22

D'accord ! Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre !

Posté par re : Orthogonaliser des vecteurs 05-06-22 à 03:26

Bonsoir,

Il serait instructif de jeter un coup d'œil au Procédé de Gram-Schmidt.