Bonjour,

Juste les grandes lignes

 Cliquez pour afficher

1/ les triangles DCA et BAE sont isométriques, d'où l'égalité des segments [BE] et [CD]

2/ C'est la loi des sinus. angle(DAE)+angle(ABC)=, les 2 angles ont même sinus et donc aire((ADC)=aire(BAC)

3/Les points A et H sont sur le cercle de diamètre [CE]
On a donc angle(AHE)=angle(ACE)= /4
De même angle(DHA)=angle(DBA)=/4

4/On  considère A' symétrique de A par rapport à M. Le quadrilatère ACA'B est un parallélogramme.

On considère A'', symétrique de A par rapport à N.

Les 2 quadrilatères ACA'B et Da''EA sont isométriques.

On en déduit que angle(MAC)=angle(NEA)

Comme angle(NAE)+angle(MAC)=/2, on a angle (ANE)=-angle(NAE)+angle(AE))=/2

Je me suis mélangé les pinceaus dans les notations à la fin.

 Cliquez pour afficher

Appelons H' le point de concours de (AM) et (DE).

On a bien angle (MAC)=angle(NEA) =angle(H'EA), mais après c'est :


Comme angle(H'AE)+angle(MAC)=/2 on a angle(AH'E)=-angle(H'EA)-angle(H'AE)=/2

L'égalité AM=DE/2 résulte de l'isométrie des parallélogrammes.

Je risque d'être le seul de "niveau lycée" à répondre.

_{Comme ça m'avait amusé j'ai posté, et me suis rendu compte après coup de ma bévue...}

Bonjour,
Merci mathafou pour ce prolongement intéressant
Quelle bévue larrech ?
J'ai l'impression que mathafou envisageait une solution avec les outils de lycée avant bac, sans pour autant discriminer les auteurs.
Bravo pour ta solution en tous cas !

Bonjour,
Je n'ai rien à reprocher à la solution de larrech "niveau lycée"
après c'est surtout une question de style de rédaction sur les notions de "figures isométriques".
j'avais d'ailleurs un peu la même avec le même usage des angles inscrits et du quadrilatère ACA'B
il y a d'autres méthodes (orthogonalités par un produit scalaire, utilisation de rotations ...)

reste la question que j'avais ajoutée "en douce" :

Bonjour à vous deux et merci pour votre bienveillance.

C'est vrai que la notion de figures isométriques demanderait davantage de précisions, et puis il y a quelques coquilles qui traînent, mais bon, c'est du style LH années 60.

Pour la dernière relation, c'est celle dite du parallélogramme

||x||²+||y||²=(||x+y||²+||x-y||²)/2

qu'on peut démontrer aussi par Al-Kashi

L'idée de construire les deux parallélogrammes isométriques étaient là. C'est le déclic.
Après, on se débrouille
Pour la relation dite du parallélogramme, je préfère invoquer le développement de .

En cherchant "figure de Vecten", j'ai trouvé ce site : qui me semble intéressant.

article sur la figure de Vecten : tout est dit

L'idée de construire les deux parallélogrammes isométriques était là (et pas étaient)

Je parlais du LH fin des années 50. Il y a certes de cela, encore qu'à l'époque on n'utilisait pas ce langage raffiné qu'on pratique aujourd'hui.
Point de figures isométriques, mais égales tout simplement.

Début des années 60 aussi

Ah ! les 3 cas d'égalité des triangles !