Bonjour,
Voici un petit problème de géomètrie pour se détendre....

Soit ABC un triangle quelconque.
On considère la bissectrice issue de A, et la médiatrice de [BC]. Elles se coupent en un point K.
Soit M le projeté orthogonal de K sur [AB], et N le projeté orthogonal de K sur [BC].

Les propriétés de la bissectrice assurent que KM=KN.
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AMK, rectangle en M : AK²=MK²+AM².
De même, dans le triangle ANK, AK²=KN²+AN².
Finalement, tout ceci donne AM=AN.
De plus, K est sur la médiatrice de [BC], d'où KB=KC.
Puisque MK=NK, le théorème de Pythagore dans le triangle KBM, puis dans le triangle KBN, permets de trouver finalement que MB=NC.

Il est alors temps de conclure...

On a AB=AM+MB=AN+NC=AC.
Le triangle est isocèle en A, de sorte que tout triangle est isocèle et de surcroit équilatéral !

Qui saura me dire où est l'erreur ?