1) bon ben 1/2 f(x)^2 +1 est une expression strictement positive ( qqchose au carré +1) donc f est strictement croissante sur I.

2)f'(0) = 1/2*f(0)² +1
f(0) = 0 donc f²(0) = 0
et f'(0) = 1
donc la tangente à C en 0 est de la forme T(x) = x +b
avec b l'ordonnée à l'origine, donc b = T(0) = f(0) car T est la tangente en 0 donc le point d'abscisse 0 de C vérifie l'équation de T et l'équation de f.
ainsi b = 0, et donc T(x) = x, c'est bien la droite y = x

3) f est dérivable sur I car pour tout x appartenant à I : f'(x)=1/2 f(x)^2 +1 et qu'on sait que f(x) est définie sur I.
-x est une fonction dérivable sur R, donc sur I ; et la somme de deux fonctions dérivables sur I est dérivable sur I.
donc g est dérivable sur I.

4)g'(x) = f'(x) -1
g'(x) = 1/2 f(x)^2 +1 -1
g'(x) = 1/2 f(x)^2
de même que pour f on en déduit que g est croissante sur I.
on peut même dire strictement croissante pour x > 0 car comme f est strictement croissante et que f(0) = 0 on aura f(x) > 0 pour x > 0 , et donc g'(x) > 0 pour x > 0.
g(0) = f(0) -0
g(0) = 0
donc g est strictement positive pour x > 0 car g strictement croissante et négative pour x < 0.
or g(x)= f(x) -x donc
- f(x) x pour x < 0
-> cad que C est au dessous de T (y = x)
- f(x) = x en 0 point d'intersection
- f(x) > x pour x > 0
-> cad que C est strictement au dessus de T.
f'(x) est une fonction dérivable comme composée de fonctions dérivables.
f"(x) = f'(x)*f(x)
f"(x) = 1/2 f(x)^3 +f(x)
f"(0) = 0

besoin d'une verification par un correcteur officiel pour les question 4, 5 et 6 car je suis pas sur des affirmations

merci d'avance

oui tu as raison, il y a des chances que je me sois embrouillée...
n'empêche c'est vexant lol !

je suis pas sur que tu ets faux mais c'est dans la partie d ela question 4 ou tu di ke kand x<0 f(x)<x jauré pluto di linverse car g(x)>0 il me semble
car si tu di ke f(x) >0 et ke derriere on -x si ta un nombe negatif sa te fera encor plus ke f(x) non ,

ah bah oui évidemment ! dsl je suis assez étourdie !

quoique non, g est croissante donc pour x < 0 on a g(x) 0
sinon, comme g(0) = 0 on ne pourrait pas avoir g croissante car g devrait redescendre vers 0 :
il faut que g soit négative avant 0, et positive après 0.
holala dur les maths

pareil pour f, je la trouve croissante et f(0) = 0, donc selon moi f est négative avant 0 et positive après.

justement jarrive pa a savoir

besoin daide svp

c'est encore moi
qu'est ce que tu ne comprends pas au juste ?
je ne vois pas où tu bloques, dis moi et je pourrais peut être essayer de mieux expliquer

en faite je ne comprend pas la kestion 4 en entier te serai possible d eme reexpliqué si tu peu

bien sûr !
tu as g(x) = f(x) -x
donc lorsque tu dérives tu obtiens g'(x) = f'(x) -1

et tu as comme hypothèse que f'(x)= 1/2 f(x)^2 +1
donc g'(x) = (1/2 f(x)^2 +1) -1
cad g'(x) = 1/2 f(x)^2
un carré est toujours positif donc pour tout x g'(x) 0.

g est donc une fonction croissante sur I
or g(0) = f(0) - 0 = 0 - 0 = 0

* si x 0
on applique la fonction g qui est croissante donc ça ne change pas le sens de l'inégalité et donc :
g(x) g(0) cad g(x) 0
* si x 0
de même on applique g :
g(x) g(0)
g(x) 0

or g(x) = f(x) - x  donc :
* si x 0, g(x) 0
cad f(x) - x 0 donc f(x) x : la courbe C sera au dessus de la droite y = x.
* si x 0, g(x) 0
et donc on aura cette fois-ci f(x) x
donc la courbe C sera en dessous de la droite y = x.
- le point d'intersection se trouve en 0 : f(0) = 0.
si il y a encore quelque chose qui n'est pas clair, n'hésite pas ! salut.