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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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ouverts et voisinages

Posté par
mousse42
06-11-20 à 13:16

Bonjour,

Pourquoi utilise-t-on ceci  "un ouvert U contenant a", plutôt que "un voisinage de a :U_a"

La deuxième façon simplifie énormément les énoncés, si on définit un voisinage de a comme un ouvert contenant a, on dit la même chose.

Je me suis posé cette question, et ensuite je tombe sur une vidéo prépa agrégation, où la jeune agrégée simule un oral d'agrég, elle parle de voisinages, et une correction incrustée dans l'image dit ceci (ouvert contenant a à la place de voisinage de a.



La correction se trouve à 1minutes et 20 secondes

Merci

Posté par
GBZM
re : ouverts et voisinages 06-11-20 à 13:34

Bonjour,

Un voisinage de a n'est pas forcément un ouvert. Un voisinage de a est une partie contenant un ouvert contenant a.
Par exemple, un espace localement compact est un espace séparé où tout point admet un voisinage compact. \R est localement compact, mais aucun ouvert non vide n'y est compact.

Posté par
mousse42
re : ouverts et voisinages 06-11-20 à 13:47

merci GBZM, oui en effet, je cherchais un moyen de simplifier les énoncés qui deviennent de plus en plus chargés.

Une dernière question, travailler avec des EVN de dimensions finies, c'est la même chose que de travailler des espaces de type \R^n

Un énoncé qui commence par "soit E,F deux EVN de dimensions finies" est équivalent à "soit  \R^n, \R^p"

Posté par
mousse42
re : ouverts et voisinages 06-11-20 à 14:10

ça va j'ai ma réponse à la dernière question

Posté par
jsvdb
re : ouverts et voisinages 06-11-20 à 15:09

Salut !
Ce qui est intéressant avec la notion de voisinage, c'est qu'on peut en parler sans parler de topologie à priori. Je veux dire qu'on peut introduire la notion de voisinage sans parler de topologie auparavant.

Soit E un ensemble non vide et x \in E.
On appelle système de voisinages de x, un sous-ensemble noté \mathfrak V(x)\subset \mathfrak P(E) qui vérifie 4 assertions :

1- Toute partie de E qui contient un élément de \mathfrak V(x) est un élément de \mathfrak V(x)
2- Toute intersection finie d'élément de \mathfrak V(x) est un élément de \mathfrak V(x)
3- x est dans tous les éléments de \mathfrak V(x)

Les assertions 1 et 3 assurent que \mathfrak V(x) est non vide et que tout élément de \mathfrak V(x) est non vide.
Par suite, ces 3 assertions font de \mathfrak V(x) un filtre sur E.

4- Si V\in \mathfrak V(x), alors il existe W\in \mathfrak V(x) tel que pour tout y \in W, W\in \mathfrak V(y)

Les éléments de \mathfrak V(x) s'appellent les voisinages de x.


Cette dernière assertion dit que pour tout voisinage V de x, il existe un autre voisinage W de x, lequel W est voisinage de chacun de ses points.
C'est cette dernière qui permet de définir une topologie (elle est unique) à partir d'un système de voisinage de chaque point de E.

Inversement, étant donné une topologie T sur un ensemble non vide, on définit un système de voisinages des points de X la façon que l'on connait. Et ce système de voisinages redonne naissance à la topologie T à partir du procédé ci-dessus.

Posté par
mousse42
re : ouverts et voisinages 07-11-20 à 01:56

Salut jsvdb

Je viens juste de voir ton message (j'ai retiré toutes les notifications sonores de mon téléphone suite à la lecture d'un article concernant l'addiction aux réseaux sociaux), je te remercie pour ces informations .

Posté par
jsvdb
re : ouverts et voisinages 07-11-20 à 13:31

Citation :
j'ai retiré toutes les notifications sonores de mon téléphone suite à la lecture d'un article concernant l'addiction aux réseaux sociaux

Posté par
boninmi
re : ouverts et voisinages 07-11-20 à 14:16

mousse42 @ 07-11-2020 à 01:56


Je viens juste de voir ton message (j'ai retiré toutes les notifications sonores de mon téléphone suite à la lecture d'un article concernant l'addiction aux réseaux sociaux), je te remercie pour ces informations .

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