Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Niveau autre
Partager :

ouverts, fermés ...

Posté par
mauricette
25-04-05 à 21:24

bonjour,
est ce qu'il existe des sous ensembles de R² ni fermés, ni ouverts ?

moi je dirai que non,
car comme les ouverts sont les complémentaire des fermés, et inversement,
alors soit A C R²,  A ni ouvert ni fermé => R² = ensemble vide
ce qui est contradictoire ...

mon raisonnement est-il bon ?
en avez vous un meilleur ?
ou bien suis je completement à coté de la plaque, et la réponse est "oui" ??

merci bcp

Posté par tutu (invité)re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:30

Bonjour Mauricette,


Le segment [0..1[ de la droite réelle n'est ni ouvert ni fermé.

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:32

mais la droite réelle est dans R, non ?
dans R² c'est pareil ?

Posté par
otto
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:34

R^2 est dans R non?

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:35

C'est plutôt le contraire que tu voulais dire, non, otto?

R est dans R^2 non?

Isis

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:36

ca n'est pas l'inverse ? R qui est dans R² ?

dc en fait [0,1[ C R C R² ni ouverts, ni fermé ?

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:37

on peut donc prendre tout intervalle du type [a, b[ ?

Posté par
otto
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:37

Oups, mais tout le monde aura compris.

Etre fermé est indépendant d'être ouvert.
D'ailleurs il existe des ensembles ouverts et fermés...

Posté par
otto
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:38

Oui, même un intervalle ouvert de R n'est plus un ouvert de R.

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:38

Ops, R n'est pas non plus dans R2. Parcontre Rx{0} est dans R2.

mauricette, est-ce que les esous-ensembles ci-dessous de R2 sont des ouverts ou des fermés?
[0,1]x]0,1[
[0,1[x[0,1]
[0,1]x]0,1]

Isis

Posté par
otto
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:38

Grrr de R^2 pardon:

un intervalle ouvert de R n'est plus ouvert dans R^2.

On en peut pas corriger ses posts?

Posté par
otto
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:40

Oui, clairement R est dans R^2, ce n'est pas faux de le dire, meme si la rigueur refuse de le voir c'est vrai

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:51

euh je dirai kil sont tous ni fermés, ni ouverts ...

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:51

Non, on ne peut pas corriger ses posts.

Pour voir R dans R² il faudrait pas considérer \mathbb{R}\times\emptyset?

J'ai déjà dû apprendre tout ça, mais on ne retient que très rarement les points qui nous intéressent pas...

Isis

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:53

mauricette, et que penses-tu des 2 sous ensembles suivants de R²:

\mathbb{R}^2\hspace{30}\emptyset

Sont-il ouverts ou fermés, aucun des deux ou les deux?

Isis

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 21:57

hum ...
je dirai que R² est ouverts ...
et ke le 2ème est euh ...ouvert aussi

Posté par
otto
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 22:03

Et leur caractère fermé?

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 22:03

euh ...
ben pour moi R² n'est pas fermé, pt le 2eme est-il ouvert et fermé ...

Posté par
mauricette
dodo 25-04-05 à 22:05

par contre, excusez moi, je V me coucher ... j'ai un rhume bien carabiné, et la g les neurones à zéro ... je pense ke demain je serai plus apte à comprendre ...
si vous avez encore du tps a m'accorder demain ... merci bcp pour votre aide ...

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 22:06

Comme tu sais bien, mauricette, si \mathbb{R}^2 est ouvert dans \mathbb{R}^2 et que l'ensemble vide \emptyset est le complémentaire de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R}^2, il faut que \emptyset soit fermé...

Le même raisonnement peut être fait en partant du fait que l'ensemble vide est ouvert.

Tu vois ce que je suggère?

Isis

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 25-04-05 à 22:06

Bonne nuit mauricette et rétablis-toi vite.

Isis

Posté par tutu (invité)re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 07:49

>>mais la droite réelle est dans R, non ?

[0..1[ = un segment de droite dans le plan !

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 09:44

Bonjour!
donc en fait cela voudrait dire que soit:  
- R² est ouvert ET fermé et donc n'est ni fermé,ni   ouvert
soit:
- R² n'est ni ouvert ni fermé donc smb]vide[/smb] est ouvert ET fermé
??

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 10:25

Non, pas exactement. IR² ouvert dans IR² implique que l'ensemble vide est fermé dans IR². IR² fermé dans IR² implique que l'ensemble vide est ouvert dans IR². Donc IR² ouvert et fermé dans IR² implique que l'ensemble vide est ouvert et fermé dans IR².

Isis

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 10:33

donc en fait,
R² et sont ouverts ET fermés

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 10:51

Voilà. De la même manière dans \mathbb{R} autant \emptyset que \mathbb{R} sont ouverts et fermés à la fois.

Isis

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 10:56

d'accord .. merci
mais euh ... je ne comprend pas comment me servir de cela pour montrer qu'il existe des sous ensemble de R² ni ouverts, ni fermés ...

mes réponses a ces questions étaient-elles juste ?

"mauricette, est-ce que les esous-ensembles ci-dessous de R2 sont des ouverts ou des fermés?
[0,1]x]0,1[
[0,1[x[0,1]
[0,1]x]0,1]"

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 11:15

euh je dirai kil sont tous ni fermés, ni ouverts ...

Je suis d'accord avec ta réponse.

Isis

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 11:17

oki, merci bcp à tous les 2!!!

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 11:39

encore une tite question ...
ya t-il moyen de montrer cela ?
pke moi j'ai surtout repondu par rapport au visuel ...
j'ai pris un papier, un crayon et g représenter ces sous ensemble ...
mais est ce possible de monter cela de facon plus rigoureuse ? ou bien est ce ke "ca se voit" ?

Posté par
nicodelafac
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 11:57

Juste une petite précision pour clarifier l'histoire :
http://www.cyber.uhp-nancy.fr/demos/MATH-TOP/2ouvertset/node21.html


Nicolas

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:02

merci
cette page ci est aussi utile

Posté par
nicodelafac
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:04

En effet! ca fait du bien de refaire un peu de topologie!!!

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:04

Hum, le "ça se voit" n'est pas très aimé en maths...

Un ensemble A\subset\mathbb{R}^2 est un ouvert si pour tous les a éléments de A il existe une boule ouverte de centre a et rayon positif r tel que cette boule est incluse dans A.

Si on prends l'exemple B=[0,1]x]0,1[ et on prend b=(0.5;0), une telle boule n'existe pas, donc B ne peut être ouvert. Si on prend b'=(0;0.5) (qui appartient au complément de B), une telle boule n'existe pas non plus, donc \bar{B} ne peut être ouvert.

Isis

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:11

je ne comprend pas pourquoi tu dit que b appartient à B et b' appartient au complement de B ...
pour moi c'est l'inverse

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:19

Euh... Je me suis trompée. C'est le contraire:

J'ai dit que B=[0,1]x]0,1[.

Comme 0.5\in[0,1],\qquad 0\notin]0,1[ on a (0.5;0)\notin B,\qquad (0.5;0)\in\bar{B}

Comme 0\in[0,1],\qquad 0.5\in]0,1[ on a (0;0.5)\in B.

Désolée pour la confusion.

Isis

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:23

mais dans ce cas pour b (0;0.5) € B, il existe une boule de rayon zéro tq cette boule C B ? non ?

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:27

Le rayon doit être positif... Un point est un fermé. Une boule ouverte dans le plan est un disque sans le cercle faissant la frontière.

Isis

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:30

ah oki ... merci!
on ne peux pas aussi dire que un ouvert est un ensemble qui contient tous les points de ses frontière, un fermé est un ensemble qui ne contient aucun points de ses frontières,
donc que [0;1]x[1;1[ n'est ni ouvert, ni fermé ?
ou bien n'est ce pas assez rigoureux ?

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:30

oups .. pardon
que [0;1]x[0;1[ n'est ni ouvert, ni fermé

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:33

C'est plutôt le contraire. Le fermé contient ses frontières, pas le ouvert.

Isis

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:37

oups ouip pardon! c'est juste une confusion sur le clavier! pas dans la tête!

Posté par minotaure (invité)re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:39

salut
j'aurais plutot dire le contraire :
un ouvert est un ensemble qui ne contient aucun points de ses frontières. (et encore ce n'est pas tout a fait juste)
un fermé est un ensemble qui contient tous les points de ses frontières (et encore ce n'est pas tout a fait juste).
[0,1[x[0,1[ ni ouvert ni ferme DANS R².
par contre normalement il existe des theoremes sur si U et V sont des ouverts de K alors UxV est un ouvert de K² (reciproque fausse)
on peut voir aussi la definition de ferme avec des suites.
remarque : quand tu parles de ferme ou d'ouvert precise toujours par rapport a quel ensemble.
tu verras (ou peut etre as tu deja vu) des ouverts dans un ensemble qui devenaient des fermes dans un autre (et la reciproque aussi).
je crois qu'on parle de trace.
tout ceci est a prendre avec des pincettes.
ce chapitre n'etait pas mon fort...

Posté par
isisstruiss
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:45

Ce chapitre n'est pas non plus mon fort comme ça a sûrement été remarqué. On aide comme on peut.

minotaure, est-ce que tu saurais quand est-ce qu'un ensemble qui contiemt sa frontière n'est pas un fermé? Ceci arrive dans \mathbb{R}^n? C'est juste par curiosité, mais je peux aussi demander à mon ami Google.

Isis

Posté par minotaure (invité)re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 12:58

pas tout a fait sa frontiere. c'est une une histoire "d'ensemble de depart".

prenons l'exemple [0,1]x[0,1[ de mauricette.
dans R² ce n'est pas un ferme. mais dans [0,1]x[0,1[ c'est une ferme (et aussi un ouvert).

comme je l'ai dit quand on parle de ferme ou d'ouvert le tout est de voir ou on se place.

Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 13:01

oui, donc en fait à partir du moment ou l'ensemble est "plus petit strictement" que l'ensemble dans lekel on se situe, on peut appliquer :
un ouvert est un ensemble qui ne contient aucun points de ses frontières
un fermé est un ensemble qui contient tous les points de ses frontières
en fait cela depend dans quel ensemble de départ on se situe ?

Posté par minotaure (invité)re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 13:08

oui c'est cela.

on fera aussi attention a cet exemple.
[0,+oo] ferme de Rbarre=R union {+oo,-oo}

mais [0,+oo] inter R = [0,+oo[ donc [0,+oo[ ferme de R.

cela vient de ce theoreme :

soit X un espAce metrique.Y une partie de X et A une partie de Y.
A est un ferme de Y si et seulement si il existe un ferme F de X tel que A=F inter Y.
(jai donne les grandes lignes j'y ai pas mis toutes les precisions)  

Posté par minotaure (invité)re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 13:10

enfin si je mets que Y doit etre un espace metrique (enfin certains considerent que c'est evident...)

Posté par minotaure (invité)re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 13:22

pour enfoncer le clou on ragardera cet exemple.

on est dans l'espace la boule unite.
on lui enleve un point situe sur la sphere. le point etant un ferme le complementaire dans cet espace devient un ouvert.
donc la boule unite prive de ce point de la frontiere est un ouvert de la boule unite alors qu'on a garde tous les autres points (notamment tous les autres de la frontiere).


Posté par
mauricette
re : ouverts, fermés ... 26-04-05 à 13:33

ah oui tiens ... c marrant ca comme exemple ...
si on était dans la boule de rayon 2 et de même centre, ds ce cas on aurait obtenu que la boule unité priV d'un point était ni ouvert ni fermé ?

1 2 +




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !