bonjour,
est ce qu'il existe des sous ensembles de R² ni fermés, ni ouverts ?
moi je dirai que non,
car comme les ouverts sont les complémentaire des fermés, et inversement,
alors soit A C R², A ni ouvert ni fermé => R² = ensemble vide
ce qui est contradictoire ...
mon raisonnement est-il bon ?
en avez vous un meilleur ?
ou bien suis je completement à coté de la plaque, et la réponse est "oui" ??
merci bcp
Bonjour Mauricette,
Le segment [0..1[ de la droite réelle n'est ni ouvert ni fermé.
Oups, mais tout le monde aura compris.
Etre fermé est indépendant d'être ouvert.
D'ailleurs il existe des ensembles ouverts et fermés...
Ops, R n'est pas non plus dans R2. Parcontre Rx{0} est dans R2.
mauricette, est-ce que les esous-ensembles ci-dessous de R2 sont des ouverts ou des fermés?
[0,1]x]0,1[
[0,1[x[0,1]
[0,1]x]0,1]
Isis
Grrr de R^2 pardon:
un intervalle ouvert de R n'est plus ouvert dans R^2.
On en peut pas corriger ses posts?
Oui, clairement R est dans R^2, ce n'est pas faux de le dire, meme si la rigueur refuse de le voir c'est vrai
Non, on ne peut pas corriger ses posts.
Pour voir R dans R² il faudrait pas considérer ?
J'ai déjà dû apprendre tout ça, mais on ne retient que très rarement les points qui nous intéressent pas...
Isis
mauricette, et que penses-tu des 2 sous ensembles suivants de R²:
Sont-il ouverts ou fermés, aucun des deux ou les deux?
Isis
par contre, excusez moi, je V me coucher ... j'ai un rhume bien carabiné, et la g les neurones à zéro ... je pense ke demain je serai plus apte à comprendre ...
si vous avez encore du tps a m'accorder demain ... merci bcp pour votre aide ...
Comme tu sais bien, mauricette, si est ouvert dans et que l'ensemble vide est le complémentaire de dans , il faut que soit fermé...
Le même raisonnement peut être fait en partant du fait que l'ensemble vide est ouvert.
Tu vois ce que je suggère?
Isis
>>mais la droite réelle est dans R, non ?
[0..1[ = un segment de droite dans le plan !
Bonjour!
donc en fait cela voudrait dire que soit:
- R² est ouvert ET fermé et donc n'est ni fermé,ni ouvert
soit:
- R² n'est ni ouvert ni fermé donc smb]vide[/smb] est ouvert ET fermé
??
Non, pas exactement. IR² ouvert dans IR² implique que l'ensemble vide est fermé dans IR². IR² fermé dans IR² implique que l'ensemble vide est ouvert dans IR². Donc IR² ouvert et fermé dans IR² implique que l'ensemble vide est ouvert et fermé dans IR².
Isis
d'accord .. merci
mais euh ... je ne comprend pas comment me servir de cela pour montrer qu'il existe des sous ensemble de R² ni ouverts, ni fermés ...
mes réponses a ces questions étaient-elles juste ?
"mauricette, est-ce que les esous-ensembles ci-dessous de R2 sont des ouverts ou des fermés?
[0,1]x]0,1[
[0,1[x[0,1]
[0,1]x]0,1]"
encore une tite question ...
ya t-il moyen de montrer cela ?
pke moi j'ai surtout repondu par rapport au visuel ...
j'ai pris un papier, un crayon et g représenter ces sous ensemble ...
mais est ce possible de monter cela de facon plus rigoureuse ? ou bien est ce ke "ca se voit" ?
Juste une petite précision pour clarifier l'histoire :
http://www.cyber.uhp-nancy.fr/demos/MATH-TOP/2ouvertset/node21.html
Nicolas
Hum, le "ça se voit" n'est pas très aimé en maths...
Un ensemble est un ouvert si pour tous les a éléments de A il existe une boule ouverte de centre a et rayon positif r tel que cette boule est incluse dans A.
Si on prends l'exemple B=[0,1]x]0,1[ et on prend b=(0.5;0), une telle boule n'existe pas, donc B ne peut être ouvert. Si on prend b'=(0;0.5) (qui appartient au complément de B), une telle boule n'existe pas non plus, donc ne peut être ouvert.
Isis
je ne comprend pas pourquoi tu dit que b appartient à B et b' appartient au complement de B ...
pour moi c'est l'inverse
Euh... Je me suis trompée. C'est le contraire:
J'ai dit que B=[0,1]x]0,1[.
Comme on a
Comme on a .
Désolée pour la confusion.
Isis
Le rayon doit être positif... Un point est un fermé. Une boule ouverte dans le plan est un disque sans le cercle faissant la frontière.
Isis
ah oki ... merci!
on ne peux pas aussi dire que un ouvert est un ensemble qui contient tous les points de ses frontière, un fermé est un ensemble qui ne contient aucun points de ses frontières,
donc que [0;1]x[1;1[ n'est ni ouvert, ni fermé ?
ou bien n'est ce pas assez rigoureux ?
salut
j'aurais plutot dire le contraire :
un ouvert est un ensemble qui ne contient aucun points de ses frontières. (et encore ce n'est pas tout a fait juste)
un fermé est un ensemble qui contient tous les points de ses frontières (et encore ce n'est pas tout a fait juste).
[0,1[x[0,1[ ni ouvert ni ferme DANS R².
par contre normalement il existe des theoremes sur si U et V sont des ouverts de K alors UxV est un ouvert de K² (reciproque fausse)
on peut voir aussi la definition de ferme avec des suites.
remarque : quand tu parles de ferme ou d'ouvert precise toujours par rapport a quel ensemble.
tu verras (ou peut etre as tu deja vu) des ouverts dans un ensemble qui devenaient des fermes dans un autre (et la reciproque aussi).
je crois qu'on parle de trace.
tout ceci est a prendre avec des pincettes.
ce chapitre n'etait pas mon fort...
Ce chapitre n'est pas non plus mon fort comme ça a sûrement été remarqué. On aide comme on peut.
minotaure, est-ce que tu saurais quand est-ce qu'un ensemble qui contiemt sa frontière n'est pas un fermé? Ceci arrive dans ? C'est juste par curiosité, mais je peux aussi demander à mon ami Google.
Isis
pas tout a fait sa frontiere. c'est une une histoire "d'ensemble de depart".
prenons l'exemple [0,1]x[0,1[ de mauricette.
dans R² ce n'est pas un ferme. mais dans [0,1]x[0,1[ c'est une ferme (et aussi un ouvert).
comme je l'ai dit quand on parle de ferme ou d'ouvert le tout est de voir ou on se place.
oui, donc en fait à partir du moment ou l'ensemble est "plus petit strictement" que l'ensemble dans lekel on se situe, on peut appliquer :
un ouvert est un ensemble qui ne contient aucun points de ses frontières
un fermé est un ensemble qui contient tous les points de ses frontières
en fait cela depend dans quel ensemble de départ on se situe ?
oui c'est cela.
on fera aussi attention a cet exemple.
[0,+oo] ferme de Rbarre=R union {+oo,-oo}
mais [0,+oo] inter R = [0,+oo[ donc [0,+oo[ ferme de R.
cela vient de ce theoreme :
soit X un espAce metrique.Y une partie de X et A une partie de Y.
A est un ferme de Y si et seulement si il existe un ferme F de X tel que A=F inter Y.
(jai donne les grandes lignes j'y ai pas mis toutes les precisions)
enfin si je mets que Y doit etre un espace metrique (enfin certains considerent que c'est evident...)
pour enfoncer le clou on ragardera cet exemple.
on est dans l'espace la boule unite.
on lui enleve un point situe sur la sphere. le point etant un ferme le complementaire dans cet espace devient un ouvert.
donc la boule unite prive de ce point de la frontiere est un ouvert de la boule unite alors qu'on a garde tous les autres points (notamment tous les autres de la frontiere).
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