Salut. Un p-uplet est exactement une application de vers !
Mais si tu as une autre définition de p-uplet, tu dois parvenir assez facilement à une bijection naturelle entre l'ensemble de ces p-uplets et

Je n'ai que cette définition du p-uplet dans mon livre et ce résultat est donné sans démonstration.

Bonjour
depuis quand on démontre une définition

tu veux dire que tu n'as rien qui te permette de raccrocher cette définition à ton idée intuitive de p-uplet, sans doute ?

C'est pas plutôt une application de   vers ?

@Lafol

Mon message en vert : c'est une définition ou une propriété ?

Ben je comprends pas, si tu as pour définition de p-uplet (d'éléments de E) les applications de dans E, il n'y a rien à démontrer :/

Sinon, si tu as une autre définition du p-uplet , il est facile de voir qu'il y a une bijection avec à travers l'application définie par   

je me demande si ton souci ne vient pas de et : ces deux écritures désignent le même ensemble
une fois ceci précisé, si pour toi un p-uplet est exactement une application de vers E , je ne vois pas ce qui t'arrête dans le fait de dire qu'il y a autant de p-uplets que de p-uplets !

J'arrive pas à visualiser ce que c'est une application de dans.

un truc qui à 1 associe , à 2 associe etc ...

où , etc sont des éléments de E

C'est une application qui associe une nouvelle application :/

Pourriez vous détailler les 2 applications ?

Par ailleurs, je vois pas la différence entre les ensembles   et

Soit
J'arrive à comprendre l'application :



Mais je comprends pas comment contruire

En fait j'arrive pas à voir que vaut :

Je pense  que c'est  le nombre de manière  de ranger p éléments  ordonnés avec répétition (c'est-à-dire  un même  élément peut se trouver  dans une liste plusieurs fois)   dans un ensemble  à  n éléments.

Donc comme l'ensemble  à  n éléments.
Si on veut ranger p éléments,
Pour prendre le premier,  j'ai n choix ;  
Comme  un élément  peut être  répété, pour  le deuxième  choix aussi on a n choix ; soit (n*n) choix de choisir  mes deux premières  éléments. Pour le troisième  élément  j'ai aussi n choix  , donc (n*n*n) choix  de prendre mes trois premières  éléments  , jusqu'au  p ième  element ou j'ai n*n*.....*n(p facteurs) choix.

Soit n^p choix.

Je rappelle  qu'on a une application  si tous les éléments  de l'ensemble  de départ  ont d'images.

Considérons les ensembles  {1,2,...,p} et E avec Card(E)=n (c'est-à-dire  E à  n éléments).

On veut calculer  le nombre  d'applications de du premier  ensemble  vers E.
C'est le nombre de correspondance qui font correspondre à  chaque  élément  de {1,2,...p} un élément  de E . Donc chercher  le nombre  d'applications  revient  à  chercher le nombre  de manière  d'ordonner  p éléments  de E avec répétition (car il y'a  des applications  subjectives).

Pourquoi  ordre  ?  Car si on prend  b et c deux éléments  distincts de E,  l'application  qui a  1---->b est différent  de l'application  qui a  1 -----> c

Ou bien si on a deux éléments  a et b de E,

L'application  qui a( 1---> a) et (2---->b)  est différent de l'application  qui a (1---->b)  et (2 -----> a)  . D'où  l'importance  de l'ordre.

je te tape une explication après manger

Oui j'ai compris ça mais j'arrive pas à comprendre l'application introduite par @Sky

D'accord je comprend mieux mais du coup :
1 est toujours envoyé sur a1
2 sur a2 etc...

Il y  a donc qu'une application de [|1,p|] vers E et qu'une p liste...
Comment en générer plusieurs avec cette application ?

Mais quelle est l'expression générale de   ?
Je vois toujours pas le p-uplet qui apparait ici.

si tu as le p-uplet (b_1,b_2, ...), tu lui associe l'application qui à 1 associe b_1, à 2 associe b_2 etc
à chaque p-uplet correspond une application de {1,2, ...,p} dans E (c'est à dire un élément de )

et il n'y a pas d'expression générale de , on la définit en donnant l'image de chaque élément de l'ensemble de départ

Ah d'accord donc un p-uplet correspond à une application de [|1,p|] dans E automatiquement ou il faut montrer que est bijective ?

si tu veux être rigoureux, vérifie la bijectivité, oui

Montrons que est bijective.

Injectivité :

Soit et des éléments de l'ensemble des p-uplets.
Supposons : donc : donc d'où l'injectivité.

Surjectivité :
Soit donc y est une application de [|1,p|] dans E.

Et là je bloque.

que penses-tu de (y(1), y(2), ... y(p)) ? n'est-ce pas un bon candidat pour être antécédent de y ?

Faudrait déjà que j'explicite y :

,..., car

On cherche tel que

Donc on peut prendre :

Ah merci infiniment j'ai enfin compris !

Par contre un détail me perturbe : je trouve qu'il y a listes.

Or si p=0 on trouve qu'il y a une  0-liste : ça veut dire quoi une 0 liste ?

Une liste vide

OK merci