Le théorème de Sylow dit que les p-sylow de G sont conjugués donc isomorphes. Leurs normalisateurs (isomorphes aussi) sont d'indice n(p) où n(p) est le nombre de p-sylows de G (il est congru à 1 modulo p et il divise . C'est parce que le nombre de conjugués d'une partie A d'un groupe G est exactement l'indice de son nomalisateur Nor(A,G) dans G.

Ici
1) G admet un 5-Sylow, d'ordre
2) Tous les 5-sylow de G sont conjugués (donc de même ordre)
3) Le nombre de 5-Sylows divise 4 (donc vaut 1,2, ou 4) et est congru à 1 modulo 5. Donc K a un seul 5-sylow qui est noté L, et L est d'ailleurs d'ordre 5.

L est normal dans K (c'est un p-Sylow !) donc K est inclus dans le normalisateur dans G de L (qui est le plus grand sous-groupe dans lequel L est normal).
Nor(L,G) est un sous-groupe de G donc de cardinal divisant |G|=60, et il est plus grand que K qui est de cardinal 20. Donc Nor(L,G) est de cardinal 20, 30, ou 60.

Et rebelotte on applique le théorème de Sylow à Nor(L,G)
20 = 4*5 donne 1 seul 5-sylow (qui est L !), ce qui fait de K = Nor(L,G) un groupe distingué non trivial et différent de G, et contredit la simplicité de G
30 = 6*5 donc 1 ou 6 5-sylows (les diviseurs de 6 sont 1,2,3,6)
60 = 12*5 donne 1 ou 6 5-sylows (les diviseurs de 12 sont 1,2,3,4,6,12)

Pour les cas 30 et 60, si le nombre de 5-sylows est 1, on contredit à nouveau, comme pour le cas 20, la simplicité de G
Sinon, ce nombre est égal au nombre de conjugués de l'un des 5-sylows de Nor(L,G), (qui sont tous d'ordre 5^1 = 5), dont L fait partie. Or, d'après la remarque du premier paragraphe, ce nombre est aussi l'indice de Nor(L,G) dans G, c'est à dire respectivement 60/30 = 2 et 60/60 = 1.
Ainsi, le cas 60 conduit à une contradiction de la simplicité de G (comme pour 20)
Et le cas 30 contredit pour sa part les théorèmes de Sylow.

Supposer l'existence d'un sous-groupe d'ordre 20 de G était absurde

Le 3 dont ils parlent correspond à 60/20 = 3. A la place j'ai directement utilisé les résultats du paragraphe précédent

Bonjour,

Nor(L,G) ne peut pas être de cardinal 30 car un sous groupe d'ordre 20 est inclus dedans.
Pour celui d'ordre 20 je ne comprends toujours pas : En quoi le fait que K soit égal à Nor(L,G) fait de lui un groupe distingué dans G?

C'est une coquille j'ai été un peu trop vite. L est distingué (car c'est un 5-Sylow), non trivial et non égal à G. Donc G pas simple. Contradiction.

Pourquoi L est-il distingué ?

Enfin c'est l'unique 5-Sylow dans K mais il est donc distingué, dans K

Oui mais il est d'ordre une puissance d'un nombre premier, donc il est inclus dans un 5-groupe (de Sylow, maximal) de G. Le théorème de Sylow sur G dit qu'il a 1 ou 6 5-sylow tous d'ordre 5 donc l'un d'eux est L^(*). Si g avait plus de 1 5-Sylow (ie L pas distingué), l'indice du normalisateur de L dans G serait 3, donc L aurait trois camarades 5-Sylows, et pas 6. Donc L est distingué, absurde car G es simple.

^(*) : car L est de cardinal 5 et inclus dans un 5-sylow, de cardinal 5 aussi

Tout ça revient toujours à la même chose : théorème de Sylow + l'histoire de l'indice du normalisateur dans G

Ok... En fait j'ai un peu de mal avec les indices car on les a très peu vus ( pas en cours, une fois en exercice).

Mais du coup si j'ai bien compris : Si il existait un sous-groupe d'ordre 20 nommé K on a alors un sous-groupe de K nommé L qui est un 5-Sylow. De plus c'est l'unique donc il est distingué dans K. Cela implique que K est inclus dans Nor(L,G) et donc que Nor(L,G) est d'ordre 20 ou 60.
Si il est d'ordre 60 cela implique que L est distingué dans G donc cela contredit l'hypothèse de G simple.
S'il est d'ordre 20 alors 60/20 = 3 = n₅ le nombre de 5-Sylow dans G? (C'est ici que je ne suis pas sûr)
Or n₅ divise 12 et est congru à 1 modulo 5 donc n₅ est égal à 1 ou à 6. Donc il y a contradiction.

Oui c'est bien ça
Le nombre de conjugués d'une partie d'un groupe fini est l'indice dans G de son normalisateur, ie

On applique à un p-Sylow P de cardinal p^n : soit n(p) le nombre de p-Sylows et soit n(P) le nombre de G-conjugués de P. D'après le deuxième théorème de Sylow, tous les p-Sylows sont conjugués. Donc n(p) ≤ n(P).
Réciproquement, un G-conjugué de P est l'image de P (qui est un groupe) par un automorphisme intérieur, donc a le même nombre d'éléments que P. C'est donc un p-groupe, de cardinal p^n égal à celui de P. Or, les p-Sylows sont exactement les p-groupes de cardinal p^n. Donc les conjugués de P sont tous des p-Sylows et n(P) ≤ n(p)