Niveau seconde

Panique

Posté par SOS (invité) 01-05-05 à 20:14

Bonjour g une inter dem1 et je suis en panique ! Je n'arrive pas à faire c exos :
*Sachant que sin(x) =2/3 et /2<x< calculer cos(x)
Sachant que cos(x)=-2/5 et -<x<-/2 calculer sin(x)

*Exprimer à l'aide de sin(x) et cos(x) les expressions suivantes :
A=cos(pie-x)+cos(3pie+x)
B= sin(pie + x) + cos(pie-x)

*1)Est-il vrai que 1/1*2 +1/2*3 +1/3*4 +1/4*5+........1/998*999 +1/999+1000 est égal à 0.999 ?
2)Que vaut (1-1/2²)*(1-1/3²)*(1-1/4²)*...........(1-1/14²)*(1-1/15²) ?

Merci beaucoup

Posté par dolphie (invité)re : Panique 01-05-05 à 20:33

salut,

ZEN!

rappelle toi de la formule sin²(x)+cos²(x)=1!!! elle va t'etre très très utile, stt ici!

ensuite, pour résoudre tes équations, en utilisant cette formule tu vas trouver deux solutions....laquelle choisir? et bien on s'aide de l'indication donnée sur l'angle (l'intervalle....donc il faut tracer le cercle trigo pour voir si le cos>0 ou cos<0...)

exemple:
$sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{3}$ et $\frac{\pi}{2} < x < \pi$
alors:
$cos^2(x)=1-(\frac{\sqrt{2}}{3})^2=\frac{7}{9}$
ainsi, $cos(x)=\frac{\sqrt{7}}{3}$ ou $cos(x)= -\frac{\sqrt{7}}{3}$ pour le savoir je ragrde mon cercle trigo....on me dit que x est sur le euxième quart de cercle.... par conséquent le cosinus est négatif.
on en déduit $cos(x)= -\frac{\sqrt{7}}{3}$

Posté par dolphie (invité)re : Panique 01-05-05 à 20:38

deuxième équation, solution: $sin(x)=-\frac{\sqrt{21}}{5}$

ensuite...
*aide toi tojours de ton cercle trigo....première chose que tu fais au brouillon pour etre tranquille.
$cos(\pi-x)=-cos(x)$
$cos(3\pi+x)$ : $3\pi=2\pi+\pi$ et $cos(2\pi+x)=cos(x)$
ainsi: $cos(3\pi+x)=cos(\pi+x)=-cos(x)$
finalement:
A = -2cos(x)

sin(\pi+x)=-sin(x)
cos(\pi-x)= -cos(x)
B = -sin(x)-cos(x)

Posté par dolphie (invité)re : Panique 01-05-05 à 20:46

pour la fin...
* $S_{999}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...\frac{1}{999\times 1000}=\sum_{k=1}^999\frac{1}{k(k+1)}$
Or $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$
ainsi: $S_{999}=\sum_{k=1}^999(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{999}-\frac{1}{1000})$
les termes s'éliminent deux à deux, il reste:
$S_{999}=1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}=0,999$

Posté par dolphie (invité)re : Panique 01-05-05 à 20:54

2)qq remarques:
$1-\frac{1}{k^2}=\frac{k^2-1}{k^2}=\frac{(k-1)(k+1)}{k\times k}$

ainsi:
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})...(1-\frac{1}{15^2})=\frac{1\times 3\times 2\times 4\times 3\times 5\times 6\times ... \times 14\times 16}{2\times 2\times 3\times 3 \times 4 \times 4 \times ... \times 15 \times 15}$

les termes vont s'annuler deux par deux...il va rester:
$\frac{1\times 16}{2\times 15}=\frac{8}{15$

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