Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau exercices
Partager :

pantalons et tiroirs

Posté par
flight
17-12-24 à 18:15

Bonsoir

je vous propose ce petit exercice , rapide à faire ..  je dispose de 3 tiroirs en lignes T1,T2 et T3 et  n pantalons empilés tous identiques , je suis pressé et décide de remplir rapidement mes tiroirs , en prenant au hasard à chaque fois un certain nombre de pantalons dans la pile que je place dans mes tiroirs , à la fin de ce rangement rapide je me demande si mon deuxième tiroir contient deux fois plus de pantalons que le premier ?   quelle serait cette probabilité ?

Posté par
dpi
re : pantalons et tiroirs 18-12-24 à 08:27

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 18-12-24 à 14:18

bonjour dpi    c'est inexact ... tu n'explique pas de plus comment tu obtiens cette valeur !

Posté par
candide2
re : pantalons et tiroirs 18-12-24 à 17:27

Bonjour,

Doit-on considérer, par exemple, que si, au final, on a :

Tiroir 1 : 0 pantalon.
Tiroir 2 : 0 pantalon.
Tiroir 3 : tous les pantalons.

C'est un cas réussi ?  ... Car le double de 0 est 0

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 18-12-24 à 23:20

bonsoir candide2 oui tout à fait

Posté par
dpi
re : pantalons et tiroirs 19-12-24 à 08:15

Suite,

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : pantalons et tiroirs 19-12-24 à 14:30

Précisions:

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : pantalons et tiroirs 19-12-24 à 16:12

>candide2
Le triple aussi
Je n'ai pas retenu le cas T1= 0 et T2 =0  mais il suffit de rajouter 1
au numérateur de ma formule....

Posté par
candide2
re : pantalons et tiroirs 19-12-24 à 17:50

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 19-12-24 à 19:50

Bonsoir Candide2 , je ne comprend pas des details de ton developpement , "si n =2  et le resultat de 2/9 " , comment fais tu pour que le second tiroir contienne 2x plus de pantalons que le premier ?

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 19-12-24 à 19:51

pour ton resultat dpi  il manque un petit quelque chose

Posté par
lionel52
re : pantalons et tiroirs 19-12-24 à 20:37

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : pantalons et tiroirs 20-12-24 à 08:52

Bonjour,
J'avais d'entrée pris   T1=0;T2=0 pour le dénominateur*
mais j'avais éliminé cette solution irréelle  pour le numérateur.
Si on la garde  ; 2x0 =0 on trouve :

 Cliquez pour afficher

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 20-12-24 à 09:46

Bravo dpi c'est la formule attendue

Posté par
candide2
re : pantalons et tiroirs 20-12-24 à 11:26

Bonjour,

Ce n'est pas correct.

Pour n = 2

on peut tirer avec la même probabilité 1 ou 2 pantalons qu'on place dans un tiroir au hasard, soit t1,t2,t3

A)
Si on tire 1 pantalon au premier coup (proba de 1/2), on a à la fin de cet épisode :
soit : (t1,t2,t3) = (1,0,0) avec une proba de 1/2 * 1/3 = 1/6
soit : (t1,t2,t3) = (0,1,0) avec une proba de 1/2 * 1/3 = 1/6
soit : (t1,t2,t3) = (0,0,1) avec une proba de 1/2 * 1/3 = 1/6

L'épisode suivant est forcément encore de tirer 1 pantalon (avec ici une proba de 1, puisqu'il ne reste qu'un pantalon à ranger)
On le met dans un des 3 tiroirs avec une proba de 1/3 et donc à la fin on a :
soit : (t1,t2,t3) = (2,0,0) avec une proba totale de 1/6 * 1/3 = 1/18
soit : (t1,t2,t3) = (1,1,0) avec une proba totale de 1/6 * 1/3 = 1/18
soit : (t1,t2,t3) = (1,0,1) avec une proba totale de 1/6 * 1/3 = 1/18

soit : (t1,t2,t3) = (1,1,0) avec une proba totale de 1/6 * 1/3 = 1/18
soit : (t1,t2,t3) = (0,2,0) avec une proba totale de 1/6 * 1/3 = 1/18
soit : (t1,t2,t3) = (0,1,1) avec une proba totale de 1/6 * 1/3 = 1/18

soit : (t1,t2,t3) = (1,0,1) avec une proba totale de 1/6 * 1/3 = 1/18
soit : (t1,t2,t3) = (0,1,1) avec une proba totale de 1/6 * 1/3 = 1/18
soit : (t1,t2,t3) = (0,0,2) avec une proba totale de 1/6 * 1/3 = 1/18
***
B)

Si on tire 2 pantalons au premiuer coup (proba de 1/2), on a à la fin de cet épisode :
soit : (t1,t2,t3) = (2,0,0) avec une proba de 1/2 * 1/3 = 1/6
soit : (t1,t2,t3) = (0,2,0) avec une proba de 1/2 * 1/3 = 1/6
soit : (t1,t2,t3) = (0,0,2) avec une proba de 1/2 * 1/3 = 1/6
****

On regarde en sommant les proba de A et B, pour avoir (t1,t2,t3) = (0,0,2), seule possibilité pour que t2 soit le double de t1

On a le cas A (t1,t2,t3) = (0,0,2) avec une proba totale de 1/6 * 1/3 = 1/18
et oçn a le cas B : (t1,t2,t3) = (0,0,2) avec une proba de 1/2 * 1/3 = 1/6

Donc la proba d'avoir (t1,t2,t3) = (0,0,2) = 1/18 + 1/6 = 4/18 = 2/9

... ce qui est confirmé par la simulation.

Posté par
candide2
re : pantalons et tiroirs 20-12-24 à 11:46

Bonjour,

Pour info, mon programme de simulation

import random

ini = 10

for k in range(1,ini+1) :
  cmpt = 0
  for j in range (1,1000001):
    tiroir = [0,0,0]
    n = k
    while n > 0:
      p = random.randint(1,n)
      t = random.randint(0,2)
      tiroir[t] = tiroir[t] + p
      n = n-p
    if tiroir[1] == 2*tiroir[0] :
        cmpt = cmpt + 1
  print(k, cmpt/1000000)

***********
Pour moi, le raisonnement qui cherche la proba par :

(Nombre de cas favorables)/(Nombre total de cas possible)  n'est applicable que si et seulement si tous les cas possibles ont la même probabilité d'arriver ... et ce n'est pas le cas dans le problème posé.

Dans le cas de 2 pantalons à ranger,
la proba d'avoir au final  (t1,t2,t3) = (0,0,2) est 2/9
la proba d'avoir au final (t1,t2,t3) = (0,2,0) est 2/9
la proba d'avoir au final  (t1,t2,t3) = (2,0,0) est 2/9
la proba d'avoir au final  (t1,t2,t3) = (1,1,0) est 1/9
la proba d'avoir au final  (t1,t2,t3) = (1,0,1) est 1/9
la proba d'avoir au final  (t1,t2,t3) = (0,1,1) est 1/9

Les 6 possibilités ne sont pas équiprobables

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 20-12-24 à 17:50

Bonsoir candide2, j'avoue ne pas avoir compris :
"Dans le cas de 2 pantalons à ranger,
la proba d'avoir au final  (t1,t2,t3) = (0,0,2) est 2/9"
Comment obtient tu cette proba ?

Posté par
candide2
re : pantalons et tiroirs 20-12-24 à 18:06

Bonjour,

Je l'ai expliqué en détail dans mon message du 20-12-24 à 11:26.

Je vais essayer de faire un arbre, c'est plus visuel.

Posté par
candide2
re : pantalons et tiroirs 20-12-24 à 18:37

Voila, j'espère que c'est suffisamment compréhensible :

pantalons et tiroirs

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 20-12-24 à 21:02

merci pour cette réponse ..... mais j'ai l'impression que tu a traité le probleme de facon "sequentielle " , dans le probleme que j'ai posé on se contente d'observer ce qui se trouve en finalité dans les tiroirs et on se pose la question qui consiste tout simplement à se dire " et tiens ! si j'en avais deux fois plus ici que là ?....."

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 20-12-24 à 21:04

le but est de vérifier si, après la répartition, le nombre de pantalons dans un tiroir est deux fois celui dans un autre tiroir.. ca reste de la combinatoire tout simple

Posté par
candide2
re : pantalons et tiroirs 21-12-24 à 10:06

Bonjour,

Je ne suis évidemment pas d'accord.

Voila un autre problème et la manière fausse dont tu l'aurais traité avec le même type de raisonnement.

On a un jeu de 32 cartes normales, on tire une carte au hasard.
Quelle est la probabilité que ce soit une image et quelle est la propabilité que ce soit un as.


Ton raisonnement (faux) :

Il y a 3 issues possibles. Soit c'est une image, soit c'est un as, soit c'est  autre chose qu'un as ou une image.

Proba que ce soit 1 image : Il y a 1 cas favorable : c'est une image.
La proba de tirer une image est donc 1/3

Raisonnement analogue pour arriver à proba d'un as = 1/3
(et proba du reste = 1/3)

C'est évidemment faux... C'est pourtant le même type d'erreur que tu fais dans ton raisonnement avec les pantalons.
********
C'est un problème séquentiel, que tu le veuilles ou non ... puisque il faut un nombre de tirages successifs pour arriver à ranger tous les pantalons.
Et une réflexion simple (séquentielle) montre que toutes les issues ne sont pas équiprobables, et donc calculer une proba par :
(nombre d'issues favorables)/(nombre d'issues possibles) est faux.

Chacun son avis, j'ai le mien ... et c'est celui qui mathématiquement  est correct.

Si un pro des probabilités passe par là, je serai intéressé d'avoir son avis.













Posté par
jandri Correcteur
re : pantalons et tiroirs 21-12-24 à 10:44

Bonjour,
je suis d'accord avec candide2, il répond exactement à la question posée par flight et son arbre envoyé le 20-12-24 à 18:37 est très clair.

Posté par
dpi
re : pantalons et tiroirs 21-12-24 à 11:59

De mon coté ,je suis resté dans l'esprit du départ de flight
Si on a des pantalons  et que l'on en range au hasard n dans trois tiroirs T1,T2,T3 (ici n est le nombre de pantalons rangés  ) ,quelle est la probabilité que l'on trouve deux fois plus de pantalons dans T2  que dans T1 ?

On trouve que le nombre de rangements possibles est (n+2)(n+1)/2
On se pose ensuite si T1=T2=0 est  possible --->oui
On se pose ensuite  si dans ce cas T2 est le double de T1--->oui car 2x0 =0
Mais on peut dire  T1 est -il la moitié de T2  soit  0/0 = 1/2 -->un peu absurde ...
Mais on va dire qu'on accepte quand même.

En suite il est évident que le nombre de cas pour les quels T2/T1 =2
sont la valeur entière de n/3

Exemple  n= 14    --->\left|14/3 \right|=4    (2;1)(4;2)(6;3)(8;4)
sans oublier notre cas absurde ...

Donc N=14--->5/91 =5.9445 environ

Posté par
dpi
re : pantalons et tiroirs 21-12-24 à 12:01

5.494505 % bien sûr

Posté par
candide2
re : pantalons et tiroirs 21-12-24 à 13:15


Merci Jandri.

A dpi,

La question n'était pas simplement :

Combien y a t'il de manières possibles de disposer n pantalons dans 3 tiroirs et, parmi celles-ci, quel est le pourcentage qui a le double de pantalons dans le tiroir 2 par rapport au tiroir 1 ?
********

La manière de disposer les pantalons dans les différents tiroirs était imposée par l'énoncé. (hasard pour le nombre de pantalons choisis par coups et hasard pour les disposer dans les tiroirs).

Et cette manière (qui était imposée par l'énoncé) influence la répartition finale des pantalons dans les tiroirs ... si bien que les différentes répartitions possibles n'avaient pas toutes la même probabilité d'arriver.

Il est donc impératif, pour respecter l'énoncé, de tenir compte des probabilités d'arriver de chaque répartition possible et ...

Comme toutes les répartitions possibles n'ont pas la même probabilité d'arriver, le problème ne peut pas êre résolu par la manière que tu as utilisée.
********

De nouveau, chacun pense ce qu'il veut.  

Je garde mon avis (qui est aussi celui de Jandri).

Posté par
jandri Correcteur
re : pantalons et tiroirs 21-12-24 à 13:41

Je suis entièrement d'accord avec ce qu'a écrit candide2.
Pour illustrer le fait que les probabilités dépendent de la manière avec laquelle on répartit les pantalons je reprends le cas n=2.

Si on prend le premier pantalon et on le place au hasard dans l'un des tiroirs, puis on prend le second pantalon et on le place au hasard dans l'un des tiroirs :
la probabilité d'obtenir la disposition (2,0,0) est égale à \dfrac13\times\dfrac13=\dfrac19 alors que la probabilité d'obtenir la disposition (1,1,0) est égale à \dfrac23\times\dfrac13=\dfrac29.

C'est différent de ce qu'on obtient avec l'énoncé de flight pour lequel on obtient respectivement les probabilités \dfrac29 et \dfrac19 comme on peut le voir sur l'arbre de candide2.

Posté par
dpi
re : pantalons et tiroirs 21-12-24 à 15:31

Pour n=2  il ne peut y avoir que :
002  011  020  101  110  200   je suis donc d'accord avec 1/6.

Si n=14 que répondez-vous ?

Posté par
candide2
re : pantalons et tiroirs 21-12-24 à 17:28

dpi,

Tes réponses sont fausses.

Et ce n'est pas parce que une solution exacte par écrit deviendrait très longue à trouver, avec n grand, qu'il faut utiliser une méthode rapide mais qui aboutit à une réponse fausse.

Comme je l'ai écrit dans mon premier message, on peut aboutir à chaque fois avec un arbre, mais cet arbre devient vite énorme dès que n augmente, mais ... on peut aisément trouver une très bonne approximation (même avec n grand) en simulant un grand nombre de "parties" par un programme informatique. On n'a que des approximations des probabilités ... mais c'est pal mal du tout.

Par exemple, voila pour n allant de 1 à 20 :

1    0.333769
2    0.221633
3    0.246236
4    0.16803
5    0.141179
6    0.156146
7    0.12171
8    0.108318
9    0.117784
10    0.097625
11    0.089811
12    0.096627
13    0.082924
14    0.077675
15    0.083066
16    0.072912
17    0.068995
18    0.073602
19    0.06555
20    0.06228 


Donc pour n = 14, la proba demandée est \simeq  0,077675 qui n'est qu'une approximation, mais, sans aucun doute, beaucoup plus près de la réalité que ce que tu trouverais avec ton calcul.

Posté par
jandri Correcteur
re : pantalons et tiroirs 21-12-24 à 17:44

@dpi,
dans ton message du 21-12-24 à 11:59 tu ne réponds pas à la question posée par flight mais à une autre question qu'on peut formuler ainsi :

on place n pantalons dans les tiroirs T1, T2, T3 puis on choisit au hasard une disposition parmi toutes les dispositions possibles (supposées équiprobables) ; quelle est la probabilité que dans la dispositions choisie il y ait deux fois plus de pantalons dans T2 que dans T1.

Si c'est la question que voulait poser flight au départ il l'a très mal formulée.

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 21-12-24 à 18:41

Bonjour a tous.. Effectivement mon énoncé a etait mal posé et la derniere formulation de Jandri est bien celle la...

Posté par
dpi
re : pantalons et tiroirs 22-12-24 à 08:21

Bonjour,
J'apprécie particulièrement la remarque de jandri qui me rassure
En même temps j'étais en phase avec  flight.
Voici mes calculs (pour mémoire....)
pantalons et tiroirs

Posté par
candide2
re : pantalons et tiroirs 22-12-24 à 09:34

Tout va pour le mieux.

J'ai répondu correctement à la question posée par flight dans l'énoncé initial.

Et dpi a répondu à la question que flight pensait, à tort, avoir posée.

Posté par
dpi
re : pantalons et tiroirs 22-12-24 à 09:40

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 22-12-24 à 10:57

..bonjour à tous ..... je comprend mieux la bourde que j'ai faite
en réalité il s'agit de l'application directe de la loi multinomiale si n =2 et on cherche P(2,0,0) alors :
P(2,0,0) = C(2,2).C(0,0).C(0,0).(1/3)2=1/9
ou meme P(1,1,0)
P(1,1,0)=  C(2,1).C(1,1).C(0,0).(1/3)2=2/9

dans notre cas on a X1+ X2+X3 = n  avec  X2=2.X1   soit 3.X1+X3=n
si on pose X1=k alors
donc P(k,2k,n -3k)=(n!/k!(2k)!(n-3k)!).(1/3)n   avec k compris entre 0 et E(n/3)

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 22-12-24 à 10:58

on a donc bien une formule  qui peut généraliser le processus

Posté par
candide2
re : pantalons et tiroirs 22-12-24 à 11:31

Bonjour flight,

Il me memble que la formule que tu donnes correspond à prendre chaque fois 1 pantalon et à le ranger dans un tiroir au hasard....

Ce qui est différent de l'énoncé initial qui précise :

..., en prenant au hasard à chaque fois un certain nombre de pantalons dans la pile que ...

Non ?

Voir message de Jandri du 21-12-24 à 13:41

Posté par
jandri Correcteur
re : pantalons et tiroirs 22-12-24 à 12:09

Bonjour,
je suis d'accord avec candide2.
Cette interprétation de l'énoncé que vient de donner flight est celle comprise par lionel52 dans son message du 19-12-24 à 20:37.

Posté par
flight
re : pantalons et tiroirs 23-12-24 à 01:21

bonjour

j'ai a présent bien compris et admet qu'il n'y a pas de formule toute faite pour decrire cette experience , bravo à Jandri et candide2 , pour avoir interpreté de facon juste cet enoncé que je pensais tout simple ...

voici mon script pour n =2  :

Sub remplir_tiroirs()
Dim t() As Variant
Dim choix As Integer
Randomize

e = 0
s = 0
Do
e = e + 1
ReDim t(2)
n = 2

Do
   choix_nbr_pantalons = Int(Rnd * n) + 1
   n = n - choix_nbr_pantalons
   choix_tiroir = Int(Rnd * (UBound(t) + 1))
   t(choix_tiroir) = choix_nbr_pantalons
Loop Until n = 0
If t(1) = 2*t(0) Then
 s = s + 1
 End If
 Erase t
Loop Until e = 100000
MsgBox s / e ' retourne 0,222    qui confirme vos résultats  et qui donne la proba de (0,0,2)
End Sub



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !