Qu'appelle-t-on recommencer le tirage ?
On a par exemple 10 couples (A0 à A9,  et B0 à B9). on a déjà désigné les 18 premiers éléments.
Il resta B8 et B9,  et on sait que les 2 personnes qui n'ont toujours pas reçu de cadeau, ce sont B0 et A9.
C'est B8 qui doit tirer , s'il tire B0, on peut considérer que c'est compatible, mais B9 doit maintenant tirer un papier, et il n'en reste qu'un dans l'urne, et pas de chance, c'est le nom de son conjoint.
On recommence le tirage à quel niveau ? On dit que B0 retire ... jusqu'à tirer A9 ?
Ou on dit qu'on annule tout, et tout le monde retire ?

En fait , tu as répondu à cette question.

On place les 2n papiers  alignés aléatoirement sur la table, un papier devant chaque participant.
Chacun prend le papier devant lui.
Si le tirage obtenu est valide, c'est fini, sinon on recommence.

Tout à fait ty59847, merci. Je te présente mes excuses : mon énoncé est vraiment confus après relecture. Ta dernière interprétation résume parfaitement le problème comme je l'imagine.

Rectification donc : chaque participant tire un papier et une fois ce processus terminé, tout le monde regarde le nom inscrit sur son papier. Si les règles ne sont pas respectées (s'il s'avère qu'un participant a tiré son nom ou celui de sa conjointe ou de son conjoint), on recommence le tirage et ainsi de suite.

Dit comme ça, je pense que je ne vais pas appliquer ce processus à Noël, je risque d'ennuyer mes amis rapidement...

Je dois m'absenter pour ce soir, si le problème manque encore de précisions, il ne faut pas hésiter à me le signaler.

En fait, en lisant ton message, je pensais à la coupe UEFA (foot) des clubs champions, où il y a cette problématique.
Il y a un certain nombre d'équipes, et il faut constituer des poules. Disons 32 équipes et 8 poules de 4. Mais il ne faut pas avoir 2 clubs du même pays dans une poule.
Je crois que pendant le tirage, ils tirent une première équipe.
Si c'est Madrid par exemple, ils retirent les autres équipes espagnoles de l'urne, et il tirent une 2ème équipe etc etc.
Mais quand ils arrivent au tirage de la poule 6 ou 7, ils font toute une gymnastique. S'il reste 3 équipes italiennes, ils vont imposer une équipe italienne dans la poule 6, et une dans la poule 7, pour ne pas arriver à une impasse pour la poule 8.

Bon c'est hors sujet, et je ne m'intéresse pas du tout au foot, mais la problématique existe réellement dans la vraie vie.

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Pour 2 couples, chaque tirage a une chance sur 6 d'être valide.
Pour 3 couples, c'est 1 chance sur 30.
Ca va vite saouler l'assistance, en effet !

Bonjour,

je ne suis pas aussi pessimiste que ty59847 puisque pour n>2 l'espérance décroît lentement jusqu'à environ 7,389. C'est étudié ici :

salut

une autre vision/reformulation de ton pb qui peut peut-être amener à la solution ... et qui viendra peut-être au fur et à mesure que je rédige ce msg ...

les n couples {1, 2}, {3, 4}, ..., {2n - 1, 2n} forment une partition P de l'ensemble E = {1, 2, 3, ..., 2n - 1, 2n}

or le nombre de partitions de E en n ensembles de 2 éléments est le coefficient multinomial

ensuite on cherche le nombre p de partitions Q de E ne rencontrant pas la partition P donc telles que

tout le pb est de trouver p ... et la solution n'est pas venue maintenant que j'ai fini de rédiger mon propos !!


bon en fait peut-être une idée :

en notant A l'ensemble des partitions de E en n parties à deux éléments donc de cardinal N ...

ha non l'dée n'est pas bonne ... désolé ...

en fait si peut-être : on cherche le nombre d'injections i de P dans A sans point fixe
donc telle qu'on ait jamais i ({2k + 1, 2k + 2}) {2k + 1, 2k + 2} pour tout k de [[0, n - 1]]

et si i ({p, p + 1}) = {p, q} ou si i ({p, p + 1}) = {p + 1, q}

je n'efface pas mais biffe seulement car peut-être est-ce une idée à creuser ...

en fait il faut que   pour tout p impair de E

Bonjour et merci à tous pour votre participation, je n'ai pas abandonné ce petit exercice .

Tes idées carpediem m'ont lancées sur des pistes qui n'ont pas abouties malheureusement, mais je pense qu'on peut faire quand même quelque chose... j'ai essayé de mélanger mon idée de permutation aléatoire (je suis têtu comme un âne malheureusement) mais cette fois à valeurs dans des partitions de {1, ..., 2n}, j'y travaille encore.

jandri merci beaucoup pour le lien, j'ai épluché quelques articles grâce à mes identifiants de ma faculté, ça ne semble pas trivial à montrer ! Pour ceux qui seraient intéressés, on y montre que le calcul fait intervenir les polynômes de Laguerre. Par manque de temps et surtout par manque de connaissances, je n'ai pas compris plus que ça.

J'ai aussi vu que l'idée de permutation aléatoire semblait être la bonne dans le lien de jandri, notamment en regardant le multi-ensemble {1,1,2,2, ..., n,n} dont je ne connaissais pas la notion (c'est un ensemble dans lequel on se permet des répétitions). Je vous tiens au courant de mes avancées !

J'oublie de préciser que le nombre dans le message de jandri est exactement , ce qui me laisse penser que l'on doit bien travailler avec les points fixes d'une permutation aléatoire dont la distribution converge vers une loi de Poisson de paramètre 1, en exploitant alors que e² = P(X = 0)² pour X suivant une Poisson(1) ; mais après je cherche dans le sens du résultat ce qui n'est jamais bon on verra bien !

Une autre idée : poser et regarder la probabilité en remarquant alors que tau sigma est aussi une permutation aléatoire... à voir.



Bonne continuation

Correction : lire e² = P(X=0)^-2 surtout.