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par a+b

Posté par
Glapion Moderateur 27-09-23 à 17:45

Bonjour, pour ceux qui aiment chercher des manipulations élégantes d'équations, essayez vous sur le problème suivant :

on sait que :

a\sqrt{a}+b\sqrt{b} = 183

b\sqrt{a}+a\sqrt{b} = 182

a et b sont des réels.

La question est de donner la valeur de l'expression : \dfrac{9}{5} ( a + b) ?

Posté par
carpediemre : par a+b 27-09-23 à 18:34

salut

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ouais bof ...

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merci pour le pb

Posté par
Sylvieg Moderateurre : par a+b 27-09-23 à 18:41

Bonjour,
@carpediem,
Tu trouves x+y, mais quid de \dfrac{9}{5} ( a + b) ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : par a+b 27-09-23 à 19:05

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Posté par
carpediemre : par a+b 27-09-23 à 19:18

ha mais oui j'ai perdu le fil de la question !!

merci Sylvieg

j'y reviendrai plus tard ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : par a+b 27-09-23 à 19:23

De rien carpediem.
C'est en poursuivant ta méthode que j'ai trouvé ce que je crois être la réponse

Posté par
carpediemre : par a+b 27-09-23 à 19:37

 Cliquez pour afficher

Posté par
jandri Correcteurre : par a+b 27-09-23 à 21:36

Bonjour,

plus généralement si a\sqrt{a}+b\sqrt{b} = A et \\ \\ b\sqrt{a}+a\sqrt{b} = B on obtient pour a+b avec la méthode de carpediem :

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateurre : par a+b 28-09-23 à 08:32

Jolie la généralisation
Mais il faut prendre quelques précautions.
Par exemple, avec

a\sqrt{a}+b\sqrt{b} = 6

b\sqrt{a}+a\sqrt{b} = 7
Il y a une petite surprise.

Posté par
dpire : par a+b 28-09-23 à 09:00

Bonjour

 Cliquez pour afficher

Posté par
jandri Correcteurre : par a+b 28-09-23 à 09:23

Merci Sylvieg, je n'avais pas pensé à regarder s'il y avait une condition sur A et B (la racine cubique étant aussi définie sur les réels négatifs).

Comme (a\sqrt{a}+b\sqrt{b})-(b\sqrt{a}+a\sqrt{b})=(a-b)(\sqrt a-\sqrt b)\geq0, A et B doivent vérifier A\geq B\geq0.

Posté par
jandri Correcteurre : par a+b 28-09-23 à 10:22

@dpi : c'est juste mais ce sont des valeurs approchées.

Glapion aurait aussi pu demander de calculer a-b.

Posté par
dpire : par a+b 28-09-23 à 11:56

Pour a-b  ,je dirai 1/3

Posté par
jandri Correcteurre : par a+b 28-09-23 à 12:28

@dpi

non, a-b est un entier.

Posté par
dpire : par a+b 28-09-23 à 12:43

Excuses
Je donnais a-b

a=16+16/3+4/9  =21.777777777777...
et      b=16+8/3+1/9 =18.7777777777...
a-b=1

Posté par
jandri Correcteurre : par a+b 28-09-23 à 14:10

Pas encore !

Posté par
dpire : par a+b 28-09-23 à 17:19

Bien sûr on peut réduire
a=196/9 et b 169/9

Posté par
jandri Correcteurre : par a+b 28-09-23 à 21:55

a-b n'est pas égal à 1.

Posté par
dpire : par a+b 29-09-23 à 07:57

Oui a-b=2/3 c'est l'âge mais je lutte....

Posté par
dpire : par a+b 29-09-23 à 07:59

La preuve a-b=3

Posté par
Sylvieg Moderateurre : par a+b 29-09-23 à 08:33

Bonjour dpi,
Tu y es arrivé
As-tu remarqué que a = (14/3)2 et b = (13/3)2 ?

Posté par
PLSVUre : par a+b 29-09-23 à 08:54

Bonjour
x et y sont solutions de X^2-9X+(182/9)=0, puisque carpediem nous a indiqué  leur somme  et leur produit

Posté par
Sylvieg Moderateurre : par a+b 29-09-23 à 09:23

Voici les expressions que je trouve pour \; a+b \; et \; a-b \; dans le cas général :

Avec A \geq B \geq 0 \; et \; r = \sqrt[3]{A+3B}

a+b = \dfrac{A+B}{r} \; et \; a-b = \sqrt{r(A-B)}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : par a+b 29-09-23 à 09:31

Un bonus : (a+b)(a-b)2 = A2 - B2
Ce qui permet de trouver a-b quand on a déjà trouvé a+b

Posté par
Sylvieg Moderateurre : par a+b 29-09-23 à 12:18

Et un malus : c'est \; |a-b| = \sqrt{r(A-B)}

Posté par
dpire : par a+b 29-09-23 à 15:52

>Sylvieg
En disant a=196/9 et b=169/9   (14/3)² et (13/3)²  sont visibles

Posté par
jandri Correcteurre : par a+b 29-09-23 à 20:57

Je suis d'accord avec Sylvieg. Une curiosité :

(a+b)(a-b)^2 = A^2 - B^2

(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)^2 = A - B

Posté par
jandri Correcteurre : par a+b 29-09-23 à 21:01

@dpi
c'est toi qui en donnant les valeurs approchées de a et b dans ton message du 28-09-23 à 09:00 m'a fait remarquer que a - b = 3 (je ne l'avais pas remarqué avant).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : par a+b 29-09-23 à 21:10

ou -3

Posté par
jandri Correcteurre : par a+b 29-09-23 à 21:12

Exact mais dpi avait du supposer sans le dire que a>b.

Posté par
jandri Correcteurre : par a+b 04-10-23 à 21:33

En cherchant autre chose j'ai retrouvé quasiment la même question qui date de moins de deux ans (je l'avais oublié) : Casse tete 2


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