Je crois que c'est pour ça qu'un ensemble ne peut pas être un élément de lui-même.

voir :
qui dit que :
En théorie des ensembles usuelle : l'axiome d'extensionnalité précise que chaque ensemble est caractérisé par les éléments qui lui appartiennent ; l'axiome de fondation énonce que la relation d'appartenance est bien fondée, ce qui interdit notamment qu'un ensemble puisse être élément de lui-même (antiréflexivité) ; l'appartenance n'est pas transitive, contrairement à la relation d'inclusion.

Complément : J'ai bien retrouvé dans la littérature que L'axiome de fondation que L.Schwartz appelle, dans "Analyse I", axiome de fondement ou de régularité interdit qu'un ensemble s'appartienne à lui-même.

Bonjour,

J'ai compris ce que vous dite.

Peut-on conclure dans le paradoxe que E n'existe pas ou E n'est pas un ensemble?

E n'est pas un ensemble

J'ai compris c'est pour dire que n'importe qu'elle collection d'objets n'est pas forcément un ensemble.

Est-ce que les objets mêmes dans E existent ?

si E n'est pas un ensemble, non.

Ah oui. Donc il n'y a pas un ensemble qui n'est pas élément de lui-même.

Exemples concrets de paradoxe quand on essaye :

Caton le crêtois dit "tous les crêtois sont des menteurs", c'est vrai ou pas à votre avis ?

On considère des dictionnaires spéciaux qui listent des titres de livres.
Parmi ces dictionnaires on rassemble tous ceux qui ne se citent pas eux-même et on cherche à écrire un dictionnaire qui les liste. A votre avis, ce dictionnaire doit-il se citer lui-même ou pas ?

c'est surtout indécidable.
Si c'est un menteur, alors "tous les crétois sont des menteurs" est faux et il n'est donc pas menteur puisqu'il est crétois, ce qui est contradictoire.
Si ce n'est pas un menteur alors il a dit vrai et donc c'est un menteur puisqu'il est crétois et c'est contradictoire aussi.

Salut,

Je ne vois pas bien en quoi ça pose problème...
Si Caton le crétois ment, alors sa phrase : "tous les crêtois sont des menteurs" est fausse, ce qui signifie qu'il existe des crétois non-menteurs. Je n'y vois pas de contradiction...

Je dirais que le problème de Glapion est de comprendre que :

oui c'est vrai, vous avez raison.

Oui ,  je comprend. C'est comme cet exemple : " Un homme disait qu'il était en train de mentir . ce que l'homme disait est-il vrai ou faux?"

Si c'est vrai , alors il était en train de mentir , donc c'est faux.
Si c'est faux, il n'était pas en train de mentir, donc c'est vrai.

Avec l'ensemble E, je n'ai toujours pas compris pourquoi E n'existent pas , car E est définit comme un sous-ensemble de l'ensemble des ensembles , c'est-à-dire l'ensemble des ensembles qui vérifient une proposition. Donc même si cette proposition est fausse. On trouve que E est le vide.

Si cette proposition est fausse « il n'y a pas un ensemble qui n'est pas élément de lui-même », donc  E qui est le vide est élément de lui-même.

Ainsi nous pouvons dire qu'un ensemble peut être ou non  élément de lui-même ? Ou dire que E n'existe même pas ?

Excuse où dire que E n'est pas un ensemble ?

Bonjour

TOUS les ensembles ne forment pas un ensemble. C'est presque une convention, puisque son existence mènerait à des contradictions. Un ensemble ne peut pas être un élément de lui-même. Même remarques, l'admettre rend toute la théorie contradictoire.

J'ai compris maintenant, le but même de la théorie des ensembles c'est d'étudier les propriétés  qui  ne risque pas de conduire a  des contradictions.

Merci à vous tous !