d2 passe aussi par A, je suppose.

Angle(AMB) = 90° puisqu'il sous-tend un diamètre de C et a son sommet sur C.

Angle(AIC) = 90° puisqu'il sous-tend un diamètre de C' et a son sommet sur C'.

--> angle(AMB) = angle(AIC)

Les triangles AMB et AIC sont semblables (de même forme)
puisque angle(AMB) = angle(AIC) et qu'ils ont de plus l'angle en A en commun.

--> AM/AI = AB/AC  (1)
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Angle(ANB) = 90° puisqu'il sous-tend un diamètre de C et a son sommet sur C.

Angle(AJC) = 90° puisqu'il sous-tend un diamètre de C' et a son sommet sur C'.

--> angle(ANB) = angle(AJC)

Les triangles ANB et AJC sont semblables (de même forme)
puisque angle(ANB) = angle(AJC) et qu'ils ont de plus l'angle en A en commun.

--> AN/AJ = AB/AC  (2)
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(1) et (2) -->
AM/AI = AN/AJ (3)

Les triangles AMN et AIJ sont semblables (par (3) et comme ils ont l'angle en A en commun).

--> angle(AMN) = angle(AIJ)

Et comme ces angles ont un coté en commun (AI), les 2 autres cotés sont parallèles --> (MN) // (IJ)
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Sauf distraction.